trapez równoramienny i ostrosłup

[marek_ns]

zad.1

W trapezie równoramiennym \(\displaystyle{ ABCD}\) punkty \(\displaystyle{ K}\) i \(\displaystyle{ L}\) są odpowiednio środkami ramion AD i BC. Przekątna AC przecina odcinek \(\displaystyle{ KL}\) w punkcie \(\displaystyle{ P}\). Wiedząc, że \(\displaystyle{ |KP|=1cm}\), \(\displaystyle{ |PL|=5cm}\) oraz wysokość trapezu jest równa \(\displaystyle{ 3cm}\), oblicz długość boków trapezu.



Zad.2

Podstawa ostrosłupa \(\displaystyle{ ABCDE}\) jest kwadrat o boku długości \(\displaystyle{ 12}\). Spodek \(\displaystyle{ F}\) wysokości \(\displaystyle{ EF}\) ostrosłupa jest środkiem krawędzi \(\displaystyle{ AD}\). Wiedząc, że dwie krótsze krawędzie boczne mają tę samą długość równą \(\displaystyle{ 10}\), oblicz tangens kąta nachylenia \(\displaystyle{ EC}\) do płaszczyzny podstawy




Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu tych zadań. Siedzę nad nimi i nic sensownego nie mogę wymyśleć.

[aalmond]

ad. 1
Zauważ, że trójkąty \(\displaystyle{ APK}\) i \(\displaystyle{ ACD}\) są podobne. Podobnie para trójkątów: \(\displaystyle{ ABC}\) i \(\displaystyle{ PLC}\)

ad. 2
\(\displaystyle{ \tg \angle FCE = \frac{|EF|}{|FC|}}\)
\(\displaystyle{ |EF|}\) i \(\displaystyle{ |FC|}\) wyznaczysz z tw. Pitagorasa

[marek_ns]

Zrobiłem układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases}

\frac{x}{1} = \frac{2x}{y} \\

\frac{x}{5} = \frac{2x}{g} \\

\frac{y+g}{2} = 6

\end{cases}}\)


Z trzeciego równania wyznaczyłem \(\displaystyle{ y=6-g}\) i podstawiłem to do pierwszego równania. Z drugiego równania wyznaczyłem \(\displaystyle{ g}\) i też podstawiłem do pierwszego równania. Wyznaczyłem \(\displaystyle{ x}\) co jest połową ramienia. \(\displaystyle{ x=5}\) , a więc \(\displaystyle{ 2x=10}\), czyli ramię trapezu to \(\displaystyle{ 10}\).
Dobrze mi wyszło?

[aalmond]

Dobrze mi wyszło?

Nie jest dobrze.
Z pierwszego równania:

\(\displaystyle{ xy = 2x \Rightarrow y =2}\)

Z drugiego równania:

\(\displaystyle{ xg = 10x \Rightarrow g = 10}\)

długość ramienia wyliczymy z tw. Pitagorasa:

\(\displaystyle{ d = \sqrt{h^2 + c^2} = 5}\)

\(\displaystyle{ d}\) - ramię
\(\displaystyle{ h}\) - wysokość
\(\displaystyle{ c = \frac{g-y}{2} = 4}\)

[marek_ns]

ad. 1
Zauważ, że trójkąty \(\displaystyle{ APK}\) i \(\displaystyle{ ACD}\) są podobne. Podobnie para trójkątów: \(\displaystyle{ ABC}\) i \(\displaystyle{ PLC}\)

ad. 2
\(\displaystyle{ \tg \angle FCE = \frac{|EF|}{|FC|}}\)
\(\displaystyle{ |EF|}\) i \(\displaystyle{ |FC|}\) wyznaczysz z tw. Pitagorasa

Wyznaczyłem\(\displaystyle{ |EF|}\) z pitagorasa i wyszło \(\displaystyle{ 8}\). Następnie wyznaczyłem z pitagorasa
\(\displaystyle{ |FC|}\) i wyszło \(\displaystyle{ 6 \sqrt{5}}\) Podstawiłem do \(\displaystyle{ \tg \angle FCE = \frac{|EF|}{|FC|}}\) a więc było \(\displaystyle{ \tg \angle FCE = \frac{8}{6 \sqrt{2} }}\). Jak z tego wyznaczyć
\(\displaystyle{ \tg \angle FCE}\) ? Czy do tej pory mam dobre wyniki ?