Parę zadań (np. kula opisana na graniastosłupie, czworościan

[Spens13]

Witam, dostałem jako zadanie rozwiązać 23 zadania. Zrobiłem już 15, ale niestety do 8 w ogóle nie wiem jak się zabrać. Proszę nie tyle o rozwiązania, co jakieś nakierowanie/rozpoczęcie.

1. Dwa stożki są podobne. Objętość większego stożka jest o 150 procent większa od objętości mniejszego. Wysokość większego jest równa 25cm. Oblicz wysokość mniejszego. Wychodzi mi 10 a powinno być \(\displaystyle{ \sqrt[3]{10,625}}\). - zrobione

2. Stożek o wysokości 15cm przecięto płaszczyzną równoległa do podstawy stożka i odległa od wierzchołka o 5cm. Oblicz stosunek objętości otrzymanych brył.

3. W kulę o promieniu R=10cm wpisano stożek o wysokości H=16cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego stożka. - zrobione, ale wynik inny niż w odpowiedzi

4. Oblicz objętość kuli opisanej na graniastosłupie prawidłowym trójkątnym, którego pole podstawy jest równe \(\displaystyle{ \frac{3}{2}\sqrt{3}}\), a wysokość wynosi 12.

5. W kulę o promieniu 16cm wpisano stożek, w którym którym kąt rozwarcia ma miarę 150 stopni. Oblicz pole powierzchni całkowitej stożka. - zrobione

6. W czworościan foremny o krawędzi długości 16cm wpisano kulę, a następnie w tę kulę wpisano walec o wysokości 4cm. Sprawdź, czy objętości tych trzech figur tworzą ciąg arytmetyczny.

7. Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny. O ile procent objętość walca opisanego na tym graniastosłupie jest większa od objętości walca wpisanego w ten graniastosłup?

8. W walec o promieniu podstawy r=4 wpisano cztery przystające kule styczne do siebie parami. Oblicz stosunek objętości walca do sumy objętości wpisanych kul

-- 12 mar 2012, o 21:27 --

Czy mógłby ktoś sprawdzić co jest nie tak z zadaniem 3?

Coś nie tak zrobiłem, ponieważ wynik to
\(\displaystyle{ 12\pi (3+ \sqrt{73})}\) a mi wychodzi \(\displaystyle{ (64+64 \sqrt{5})\pi}\)

Zrobiłem to tak:
\(\displaystyle{ R=10}\)
\(\displaystyle{ H=16}\)
\(\displaystyle{ 100=36+ r^{2} => r=8}\)
\(\displaystyle{ 16^{2}+8^{2}= l^{2} => l= 8\sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ Pc=\pi r(r+l)= \pi 8(8+ 8\sqrt{5})=(64+64\sqrt{5})\pi}\)

Czyli o ponad 200 za dużo :/

[anna_]

5.

AU

d93649a3363c0c70med.png (77.87 KiB) Przejrzano 167 razy

[/url]

Trójkąt \(\displaystyle{ OBA}\) jest równoboczny, więc średnica podstawy stożka jest równa \(\displaystyle{ 16}\).

Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta \(\displaystyle{ OBC}\) policzysz tworzącą (\(\displaystyle{ CB}\)).

Wysokość stożka z Pitagorasa.

[Spens13]

Zadanie 5 zrobiłem troszkę inaczej, niż z twierdzenia cosinusów Zmarnowałem wcześniej 3 strony, bo rysunek ciągle źle robiłem ^^

Zrobiłem tak:
\(\displaystyle{ BO = r \\
CO = d \\
CB = l \\
x^{2}+r^{2}=R^{2} \\
R^{2}-r^{2}=x^{2} \\
x=8\sqrt{3} \\
\tg15= \frac{d}{r} \\
d=2,16 \\
8^{2}+2,16^{2}= l^{2} \Rightarrow l=8,3 \\
V=\pi r(r+l)= \pi 8(8+8,3)=130,4\pi}\)

Czyli tylko o \(\displaystyle{ 0,1}\) więcej niż w odpowiedziach.

[piasek101]

2) Stosunek objętości brył podobnych (nie ten szukany) jest sześcianem skali podobieństwa.

[anna_]

Moim sposobem wyjdzie w zadaniu 5 bardzo dokładny wynik.

Piasek101 mógłbyś sprawdzić to 3, bo ja błędu w rozwiązaniu nie widzę.

[piasek101]

3 ?

\(\displaystyle{ P=64\pi (1+\sqrt 5)}\)

[anna_]

4. Oblicz objętość kuli opisanej na graniastosłupie prawidłowym trójkątnym, którego pole podstawy jest równe \(\displaystyle{ \frac{3}{2}\sqrt{3}}\), a wysokość wynosi 12.

Liczysz kolejno:
1. krawędź podstawy ( z pola \(\displaystyle{ a= \sqrt{6}}\))
2. promień okręgu opisanego na podstawie - \(\displaystyle{ R= \frac{a \sqrt{3} }{3}}\) (\(\displaystyle{ R= \sqrt{2}}\))
3. przekątną prostokąta o bokach \(\displaystyle{ 2\sqrt{2}}\) na \(\displaystyle{ 12}\) - to będzie średnica kuli (\(\displaystyle{ R_k= \sqrt{38}}\))
4. objętość kuli ( \(\displaystyle{ \frac{152 \sqrt{38} }{3}}\) )


Tak, zadanie 3, jest rozwiązanie w pierwszym poście.-- dzisiaj, o 22:13 --Czyli jest błąd w książce.

[piasek101]

Nie zauważyłem - ale wynik dostałem taki sam, czyli (chyba) gra.

[anna_]

W 6 wychodzi mi tak:

Objętość czworościanu - \(\displaystyle{ \frac{1024 \sqrt{2} }{3}}\)

Objętość kuli - \(\displaystyle{ \frac{512 \sqrt{6} }{27} \pi}\)

Objętość walca - \(\displaystyle{ \frac{80}{3} \pi}\)

-- dzisiaj, o 22:48 --

8. W walec o promieniu podstawy r=4 wpisano cztery przystające kule styczne do siebie parami. Oblicz stosunek objętości walca do sumy objętości wpisanych kul

AU

b2f2cfdc3203048d.png (9.87 KiB) Przejrzano 167 razy

[/url]

Wysokość walca to śerdnica kuli
Promień kuli \(\displaystyle{ r}\) policzysz z:
\(\displaystyle{ 2 \sqrt{2}r+2r=8}\)