Ostrosłup prawidłowy czworokątny i kosinus kąta

[blackbird936]

Wyznacz kosinus kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym 2przeciwległe krawędzie boczne i przekątna podstawy tworzą trójkąt prostokątny.

Narysowałam sobie pięknie ostrosłup, ścianę boczną, wszystko podpisałam, wypisałam co mam dane co szukane i na tym się skończyło... HELP!

[Lbubsazob]

Najpierw zajmijmy się tym trójkątem prostokątnym. Jest utworzony przez 2 krawędzie boczne, czyli jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. Taki trójkąt jest połową kwadratu, jeżeli oznaczymy krawędź boczną ostrosłupa jako \(\displaystyle{ x}\), to przekątna podstawy ma długość \(\displaystyle{ x\sqrt2}\). Jeżeli to jest przekątna kwadratu w podstawie, to bok podstawy też ma długość \(\displaystyle{ x}\). Wychodzi na to, że ściany boczne są trójkątami równobocznymi, więc wszystkie wysokości ścian bocznych mają długość \(\displaystyle{ \frac{x\sqrt3}{2}}\). Teraz z twierdzenia cosinusów wystarczy znaleźć szukany kąt.