Stożek i walec.

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
Awatar użytkownika
blackbird936
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 280
Rejestracja: 28 lis 2011, o 13:28
Płeć: Kobieta
Podziękował: 53 razy

Stożek i walec.

Post autor: blackbird936 »

Stożek i walec mają równe: tworzące, objętości i pola boczne. Oblicz \(\displaystyle{ cos \alpha}\) nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy.

H-wys. stożka
r-promien s.
l-tworząca stożka, walca i wys walca
R-promien w.

Układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} V _{s} = V _{w} \\ P _{b _{s} } =P_{b_{w}} \end{cases}}\)

z tego wyliczyłam:
\(\displaystyle{ \begin{cases} l= \frac{4H}{3 \pi } \\ r=2R \end{cases}}\)

i

\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{3R \pi }{2H}}\)

\(\displaystyle{ cos \alpha}\) ma być równy \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{7} }{4}}\) tylko nie wiem jak to zrobić ;((
Awatar użytkownika
bereta
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 122
Rejestracja: 17 kwie 2009, o 13:30
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Bydgoszcz
Pomógł: 40 razy

Stożek i walec.

Post autor: bereta »

Objętość walca: \(\displaystyle{ V_{w}=\pi R^{2}l}\)
Pole powierzchni bocznej walca: \(\displaystyle{ P_{b_{w}}=2 \pi Rl}\)
Objętość stożka: \(\displaystyle{ V_{s}= \frac{1}{3} \pi r^{2}H}\)
Pole powierzchni bocznej stożka: \(\displaystyle{ P_{b}_{s}=\pi rl}\)

Jeśli \(\displaystyle{ P_{b}_{s}=P_{b_{w}}}\), to:

\(\displaystyle{ \pi rl=2 \pi Rl\\
r=2R}\)


Jeśli \(\displaystyle{ V_{s}=V_{w}}\), to:

\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \pi r^{2}H=\pi R^{2}l}\)

Pod \(\displaystyle{ r}\) podstawiamy \(\displaystyle{ 2R}\) i otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \pi (2R)^{2}H=\pi R^{2}l\\
l= \frac{4}{3} H\\
H= \frac{3}{4} l}\)


Żeby obliczyć \(\displaystyle{ cos \alpha}\) należy wyznaczyć promień stożka:

\(\displaystyle{ r^{2}=l^{2}-H^{2}\\
r^{2}=l^{2}- (\frac{3}{4})^{2}l^{2}\\
r^{2}= \frac{7}{16}l^{2}\\
r= \frac{ \sqrt{7} }{4}l}\)


Dalej już wyliczamy \(\displaystyle{ cos \alpha}\):

\(\displaystyle{ cos \alpha= \frac{r}{l}= \frac{\frac{ \sqrt{7} }{4}l}{l}=\frac{ \sqrt{7} }{4}}\)
ODPOWIEDZ