[STEREOMETRIA] Kula wpisana w stożek.Pole
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 16 lut 2007, o 13:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Czestochowa
[STEREOMETRIA] Kula wpisana w stożek.Pole
Witam!
Mam problem z rozwiąazniem następującego zadania. Siedze już kilka godzin i nic nie mogę wymyślić. Liczę na waszą kreatywność;)
Treść zad.
Kula wpisana w stożek ma pole powierzchni dwa razy mniejsze od pola powierzchni całkowitej stożka. Oblicz cosinus kąta nachylenia tworzącej tego stożka do płaszczyzny jego podstawy.
Mam problem z rozwiąazniem następującego zadania. Siedze już kilka godzin i nic nie mogę wymyślić. Liczę na waszą kreatywność;)
Treść zad.
Kula wpisana w stożek ma pole powierzchni dwa razy mniejsze od pola powierzchni całkowitej stożka. Oblicz cosinus kąta nachylenia tworzącej tego stożka do płaszczyzny jego podstawy.
- Lady Tilly
- Użytkownik
- Posty: 3807
- Rejestracja: 4 cze 2005, o 10:29
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: nie wiadomo
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 712 razy
[STEREOMETRIA] Kula wpisana w stożek.Pole
r to promień podstawy
R to promień kuli
\(\displaystyle{ 8R^{2}=r^{2}+rl}\) wyznaczasz z tego l dalej masz
\(\displaystyle{ R=\frac{r\sqrt{r^{2}+l^{2}}}{r+l}}\)
R to promień kuli
\(\displaystyle{ 8R^{2}=r^{2}+rl}\) wyznaczasz z tego l dalej masz
\(\displaystyle{ R=\frac{r\sqrt{r^{2}+l^{2}}}{r+l}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 16 lut 2007, o 13:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Czestochowa
[STEREOMETRIA] Kula wpisana w stożek.Pole
No dobrze ,ale dalej nie rozumiem do czego mi promien kuli jest potrzebny
-
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 17 mar 2008, o 19:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Stoczek
[STEREOMETRIA] Kula wpisana w stożek.Pole
Chciałbym ponowić prośbę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania. Zauważyłem już że
\(\displaystyle{ \tan\frac{\alpha}{2}=\frac{R}{r}}\)
\(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{r}{l}}\)
tylko nie wiem co dalej z tym zrobić
Z góry dziękuje
\(\displaystyle{ \tan\frac{\alpha}{2}=\frac{R}{r}}\)
\(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{r}{l}}\)
tylko nie wiem co dalej z tym zrobić
Z góry dziękuje
- Mortify
- Użytkownik
- Posty: 768
- Rejestracja: 22 lis 2007, o 22:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / MIMUW
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 164 razy
[STEREOMETRIA] Kula wpisana w stożek.Pole
\(\displaystyle{ l= \sqrt{h^{2}+r^{2}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{R}{h-R} = \frac{1}{ \sqrt{1+ (\frac{h}{r})^{2} } }}\) (1)
\(\displaystyle{ r^{2}+rl=8R^{2}}\) (2)
z (1) wyznaczamy R:
\(\displaystyle{ R= \frac{h}{1+ \sqrt{1+ (\frac{h}{r})^{2} } }}\)
i podstawiamy do (2):
\(\displaystyle{ r^{2}(1+ \frac{l}{r})=8 \frac{h^{2}}{(1+ \sqrt{1+( \frac{h}{r})^{2} })^{2} }}\)
\(\displaystyle{ (1+ \sqrt{1+ ( \frac{h}{r})^{2} } } )^{3}=8 (\frac{h}{r}) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ t=1+ \sqrt{1+ ( \frac{h}{r})^{2} } }}\)
\(\displaystyle{ (t-1)^{2}-1= (\frac{h}{r})^{2}}\)
\(\displaystyle{ t^{3}=8((t-1)^{2}-1)}\)
\(\displaystyle{ t^{3}=8(t^{2}-2t)}\)
\(\displaystyle{ t^{2}=8t-16}\)
\(\displaystyle{ (t-4)^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ t=4}\)
\(\displaystyle{ 1+ \sqrt{1+ ( \frac{h}{r})^{2} } }=4}\)
\(\displaystyle{ \frac{h}{r}=2 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{h}{r}=tg\alpha}\)
\(\displaystyle{ tg\alpha = 2 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ tg\alpha = \sqrt{ \frac{1}{cos^{2}\alpha} -1 }}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha= \frac{1}{ \sqrt{tg^{2}+1} } = \frac{1}{ \sqrt{8+1} }}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha = \frac{1}{3}}\)
W wielu miejscach pomijałem słupki żmudnych obliczeń.Mam nadzieję, że nie sprawi to kłopotu.
\(\displaystyle{ \frac{R}{h-R} = \frac{1}{ \sqrt{1+ (\frac{h}{r})^{2} } }}\) (1)
\(\displaystyle{ r^{2}+rl=8R^{2}}\) (2)
z (1) wyznaczamy R:
\(\displaystyle{ R= \frac{h}{1+ \sqrt{1+ (\frac{h}{r})^{2} } }}\)
i podstawiamy do (2):
\(\displaystyle{ r^{2}(1+ \frac{l}{r})=8 \frac{h^{2}}{(1+ \sqrt{1+( \frac{h}{r})^{2} })^{2} }}\)
\(\displaystyle{ (1+ \sqrt{1+ ( \frac{h}{r})^{2} } } )^{3}=8 (\frac{h}{r}) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ t=1+ \sqrt{1+ ( \frac{h}{r})^{2} } }}\)
\(\displaystyle{ (t-1)^{2}-1= (\frac{h}{r})^{2}}\)
\(\displaystyle{ t^{3}=8((t-1)^{2}-1)}\)
\(\displaystyle{ t^{3}=8(t^{2}-2t)}\)
\(\displaystyle{ t^{2}=8t-16}\)
\(\displaystyle{ (t-4)^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ t=4}\)
\(\displaystyle{ 1+ \sqrt{1+ ( \frac{h}{r})^{2} } }=4}\)
\(\displaystyle{ \frac{h}{r}=2 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{h}{r}=tg\alpha}\)
\(\displaystyle{ tg\alpha = 2 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ tg\alpha = \sqrt{ \frac{1}{cos^{2}\alpha} -1 }}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha= \frac{1}{ \sqrt{tg^{2}+1} } = \frac{1}{ \sqrt{8+1} }}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha = \frac{1}{3}}\)
W wielu miejscach pomijałem słupki żmudnych obliczeń.Mam nadzieję, że nie sprawi to kłopotu.
[STEREOMETRIA] Kula wpisana w stożek.Pole
nie wiem skad wziął sie taki zapis, proszę o pomoc,Mortify pisze: \(\displaystyle{ \frac{R}{h-R} = \frac{1}{ \sqrt{1+ (\frac{h}{r})^{2} } }}\) (1)
dziekuję
-
- Użytkownik
- Posty: 23496
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
[STEREOMETRIA] Kula wpisana w stożek.Pole
Z podobieństwa :
\(\displaystyle{ \frac{R}{h-R}=\frac{r}{l}}\) wstawić za (\(\displaystyle{ l}\)) to z pitagorasa; ,,wpakować" (r) z góry pod pierwiastek.
\(\displaystyle{ \frac{R}{h-R}=\frac{r}{l}}\) wstawić za (\(\displaystyle{ l}\)) to z pitagorasa; ,,wpakować" (r) z góry pod pierwiastek.
[STEREOMETRIA] Kula wpisana w stożek.Pole
Odnawiam temat:
Zrobiłam układ w warunku zadania:
\(\displaystyle{ 8R ^{2}= r ^{2}-rl
H ^{2} + r ^{2}= l ^{2}
H= \frac{R(l-r)}{r}}\)
Ten ostatni warunek z podobieństwa trójkątów. Problem w tym, że wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{1}{9}}\) Dlaczego? Pomożecie?
W trzecim warunku mam R(l-r) w liczniku oraz r w mianowniku
Zrobiłam układ w warunku zadania:
\(\displaystyle{ 8R ^{2}= r ^{2}-rl
H ^{2} + r ^{2}= l ^{2}
H= \frac{R(l-r)}{r}}\)
Ten ostatni warunek z podobieństwa trójkątów. Problem w tym, że wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{1}{9}}\) Dlaczego? Pomożecie?
W trzecim warunku mam R(l-r) w liczniku oraz r w mianowniku
Ostatnio zmieniony 13 lis 2012, o 14:29 przez Math_s, łącznie zmieniany 1 raz.
[STEREOMETRIA] Kula wpisana w stożek.Pole
Tak, wiem, ale układem też powinno wyjść. W tym ostatnim równaniu mam w liczniku R(l-r) w mianowniku r )
-
- Użytkownik
- Posty: 16328
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3248 razy
[STEREOMETRIA] Kula wpisana w stożek.Pole
No to wynacz jeszczr raz to \(\displaystyle{ H}\), bo jeżeli to jest wyanaczone ze wzoru który podawał piasek101, to źle to zrobiłas.