[STEREOMETRIA] Kula wpisana w stożek.Pole

[Lifan]

Witam!
Mam problem z rozwiąazniem następującego zadania. Siedze już kilka godzin i nic nie mogę wymyślić. Liczę na waszą kreatywność;)
Treść zad.
Kula wpisana w stożek ma pole powierzchni dwa razy mniejsze od pola powierzchni całkowitej stożka. Oblicz cosinus kąta nachylenia tworzącej tego stożka do płaszczyzny jego podstawy.

[Lady Tilly]

r to promień podstawy
R to promień kuli
\(\displaystyle{ 8R^{2}=r^{2}+rl}\) wyznaczasz z tego l dalej masz
\(\displaystyle{ R=\frac{r\sqrt{r^{2}+l^{2}}}{r+l}}\)

[Lifan]

No dobrze ,ale dalej nie rozumiem do czego mi promien kuli jest potrzebny

[kubaMATwgw]

Chciałbym ponowić prośbę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania. Zauważyłem już że
\(\displaystyle{ \tan\frac{\alpha}{2}=\frac{R}{r}}\)
\(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{r}{l}}\)
tylko nie wiem co dalej z tym zrobić
Z góry dziękuje

[Mortify]

\(\displaystyle{ l= \sqrt{h^{2}+r^{2}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{R}{h-R} = \frac{1}{ \sqrt{1+ (\frac{h}{r})^{2} } }}\) (1)
\(\displaystyle{ r^{2}+rl=8R^{2}}\) (2)
z (1) wyznaczamy R:
\(\displaystyle{ R= \frac{h}{1+ \sqrt{1+ (\frac{h}{r})^{2} } }}\)
i podstawiamy do (2):
\(\displaystyle{ r^{2}(1+ \frac{l}{r})=8 \frac{h^{2}}{(1+ \sqrt{1+( \frac{h}{r})^{2} })^{2} }}\)
\(\displaystyle{ (1+ \sqrt{1+ ( \frac{h}{r})^{2} } } )^{3}=8 (\frac{h}{r}) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ t=1+ \sqrt{1+ ( \frac{h}{r})^{2} } }}\)
\(\displaystyle{ (t-1)^{2}-1= (\frac{h}{r})^{2}}\)
\(\displaystyle{ t^{3}=8((t-1)^{2}-1)}\)
\(\displaystyle{ t^{3}=8(t^{2}-2t)}\)
\(\displaystyle{ t^{2}=8t-16}\)
\(\displaystyle{ (t-4)^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ t=4}\)
\(\displaystyle{ 1+ \sqrt{1+ ( \frac{h}{r})^{2} } }=4}\)
\(\displaystyle{ \frac{h}{r}=2 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{h}{r}=tg\alpha}\)
\(\displaystyle{ tg\alpha = 2 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ tg\alpha = \sqrt{ \frac{1}{cos^{2}\alpha} -1 }}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha= \frac{1}{ \sqrt{tg^{2}+1} } = \frac{1}{ \sqrt{8+1} }}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha = \frac{1}{3}}\)

W wielu miejscach pomijałem słupki żmudnych obliczeń.Mam nadzieję, że nie sprawi to kłopotu.

[celia11]

\(\displaystyle{ \frac{R}{h-R} = \frac{1}{ \sqrt{1+ (\frac{h}{r})^{2} } }}\) (1)

nie wiem skad wziął sie taki zapis, proszę o pomoc,

dziekuję

[piasek101]

Z podobieństwa :

\(\displaystyle{ \frac{R}{h-R}=\frac{r}{l}}\) wstawić za (\(\displaystyle{ l}\)) to z pitagorasa; ,,wpakować" (r) z góry pod pierwiastek.

[Math_s]

Odnawiam temat:
Zrobiłam układ w warunku zadania:
\(\displaystyle{ 8R ^{2}= r ^{2}-rl


H ^{2} + r ^{2}= l ^{2}



H= \frac{R(l-r)}{r}}\)

Ten ostatni warunek z podobieństwa trójkątów. Problem w tym, że wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{1}{9}}\) Dlaczego? Pomożecie?


W trzecim warunku mam R(l-r) w liczniku oraz r w mianowniku

[anna_]

Popraw zapis tego ostatniego warunku, bo nie wiem o co chodzi.

[Mortify]

Ale odświeżenie.. Masz pełne rozwiązanie, gotowiec. Wystarczy przeanalizować powoli i tyle.

[Math_s]

Tak, wiem, ale układem też powinno wyjść. W tym ostatnim równaniu mam w liczniku R(l-r) w mianowniku r )

[anna_]

No to wynacz jeszczr raz to \(\displaystyle{ H}\), bo jeżeli to jest wyanaczone ze wzoru który podawał piasek101, to źle to zrobiłas.