Ostrosłup z prostokątem

szprot_w_oleju · Post autor: **szprot_w_oleju** » 9 mar 2012, o 18:14

Podstawą ostrosłupa ABCDW jest prostokąt ABCD w którym AB=3, BC = 4. Wszystkie krawędzie boczne mają długość 3. Wyznacz kosinus kąta między dwiema sąsiednimi ścianami bocznymi tego ostrosłupa.

Ciężko mi wskazać punkt przecięcia wysokości ścian bocznych gdy w podstawie mamy coś nieforemnego.

kamil13151 · Post autor: **kamil13151** » 9 mar 2012, o 19:27

Spodkiem wysokości będzie punkt przecięcia się przekątnych prostokąta.

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 9 mar 2012, o 20:45

Kamilu, prawdopodobnie nie zrozumiałeś pytania.
W zadaniu problematyczny jest fakt, iż wysokości sąsiednich ścian bocznych poprowadzone do wspólnej krawędzi bocznej ostrosłupa nie mają punktów wspólnych.
Można jednak w jednej ze ścian bocznych poprowadzić odcinek równoległy do wspomnianej wysokości (obliczyć jego długość można na podstawie długości tej wysokości i twierdzenia Talesa) tak, by jeden z jego końców pokrywał się ze spodkiem analogicznej wysokości w sąsiedniej ścianie bocznej.
Należy jeszcze połączyć odcinkiem zawartym w podstawie ostrosłupa należący do niej koniec dorysowanego powyżej odcinka z tym wierzchołkiem podstawy, który jest końcem wysokości drugiej ze wspomnianych ścian bocznych. Długość tego odcinka można znaleźć łatwo w oparciu o twierdzenie kosinusów.
Później wystarczy ponownie skorzystać z tego twierdzenia, by znaleźć miarę żądanego kąta dwuściennego.