ostrosłupy miara kąta między ścianami bocznymi

[kwiateczek15]

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość równą 6. Kąt miedzy dwiem ścianami sąsiednimi bocznymi tego ostrosłupa ma miarę\(\displaystyle{ 120^{\circ}}\) . Wyznacz objętość ostrosłupa.

P.S Udało mi się tylko wyznaczyć wysokość sciany bocznej.

[Siddhartha]

Przyjmijmy oznaczenia:
podstawa: kwadrat \(\displaystyle{ ABCD}\),
wierzchołek ostrosłupa: \(\displaystyle{ S}\).

Wnioskuję, że policzyłeś wysokość ściany, która jest ramieniem trójkąta równoramiennego \(\displaystyle{ APC}\) o kącie \(\displaystyle{ 120^{\circ}}\) przy wierzchołku \(\displaystyle{ P}\) i podstawie \(\displaystyle{ AC}\) będącej przekątną kwadratu \(\displaystyle{ d=6\sqrt{2}}\) i wyszło ci:
\(\displaystyle{ \frac{\frac{d}{2}}{h}=\sin{60^{\circ}}\)
\(\displaystyle{ \frac{3\sqrt{2}}{h}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(\displaystyle{ h=2\sqrt{6}}\)

Z Pitagorasa mamy:
\(\displaystyle{ |PB|^{2}=6^{2}-h^{2}}\)
\(\displaystyle{ |PB|^{2}=36-24}\)
\(\displaystyle{ |PB|=2\sqrt{3}}\)

Niech \(\displaystyle{ Q}\) będzie spodkiem wysokości ściany \(\displaystyle{ ASB}\) poprowadzonej z wierzchołka \(\displaystyle{ S}\). Wówczas na mocy cechy \(\displaystyle{ (kkk)}\) mamy podobieństwo trójkątów \(\displaystyle{ SQB}\) i \(\displaystyle{ APB}\), więc
\(\displaystyle{ \frac{h}{|SQ|}=\frac{|PB|}{|QB|}}\)
\(\displaystyle{ \frac{2\sqrt{6}}{|SQ|}=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\)
\(\displaystyle{ |SQ|=3\sqrt{2}}\)

a teraz możemy już policzyć wysokość ostrosłupa \(\displaystyle{ H}\):
\(\displaystyle{ H^{2}=|SQ|^{2}-3^{2}}\)
\(\displaystyle{ H^{2}=18-9}\)
\(\displaystyle{ H=3}\)

i stąd objetość ostrosłupa wynosi:
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}Ha^{2}=\frac{1}{3}9 \cdot 36=108}\)

Jeżeli gdzieś się w rachunkach nie machnąłem to taki będzie wynik.