W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość równą 6. Kąt miedzy dwiem ścianami sąsiednimi bocznymi tego ostrosłupa ma miarę\(\displaystyle{ 120^{\circ}}\) . Wyznacz objętość ostrosłupa.
P.S Udało mi się tylko wyznaczyć wysokość sciany bocznej.
ostrosłupy miara kąta między ścianami bocznymi
-
- Użytkownik
- Posty: 36
- Rejestracja: 18 lis 2009, o 20:52
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: polska
ostrosłupy miara kąta między ścianami bocznymi
Ostatnio zmieniony 5 mar 2012, o 19:58 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 9 mar 2012, o 21:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 4 razy
ostrosłupy miara kąta między ścianami bocznymi
Przyjmijmy oznaczenia:
podstawa: kwadrat \(\displaystyle{ ABCD}\),
wierzchołek ostrosłupa: \(\displaystyle{ S}\).
Wnioskuję, że policzyłeś wysokość ściany, która jest ramieniem trójkąta równoramiennego \(\displaystyle{ APC}\) o kącie \(\displaystyle{ 120^{\circ}}\) przy wierzchołku \(\displaystyle{ P}\) i podstawie \(\displaystyle{ AC}\) będącej przekątną kwadratu \(\displaystyle{ d=6\sqrt{2}}\) i wyszło ci:
\(\displaystyle{ \frac{\frac{d}{2}}{h}=\sin{60^{\circ}}\)
\(\displaystyle{ \frac{3\sqrt{2}}{h}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(\displaystyle{ h=2\sqrt{6}}\)
Z Pitagorasa mamy:
\(\displaystyle{ |PB|^{2}=6^{2}-h^{2}}\)
\(\displaystyle{ |PB|^{2}=36-24}\)
\(\displaystyle{ |PB|=2\sqrt{3}}\)
Niech \(\displaystyle{ Q}\) będzie spodkiem wysokości ściany \(\displaystyle{ ASB}\) poprowadzonej z wierzchołka \(\displaystyle{ S}\). Wówczas na mocy cechy \(\displaystyle{ (kkk)}\) mamy podobieństwo trójkątów \(\displaystyle{ SQB}\) i \(\displaystyle{ APB}\), więc
\(\displaystyle{ \frac{h}{|SQ|}=\frac{|PB|}{|QB|}}\)
\(\displaystyle{ \frac{2\sqrt{6}}{|SQ|}=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\)
\(\displaystyle{ |SQ|=3\sqrt{2}}\)
a teraz możemy już policzyć wysokość ostrosłupa \(\displaystyle{ H}\):
\(\displaystyle{ H^{2}=|SQ|^{2}-3^{2}}\)
\(\displaystyle{ H^{2}=18-9}\)
\(\displaystyle{ H=3}\)
i stąd objetość ostrosłupa wynosi:
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}Ha^{2}=\frac{1}{3}9 \cdot 36=108}\)
Jeżeli gdzieś się w rachunkach nie machnąłem to taki będzie wynik.
podstawa: kwadrat \(\displaystyle{ ABCD}\),
wierzchołek ostrosłupa: \(\displaystyle{ S}\).
Wnioskuję, że policzyłeś wysokość ściany, która jest ramieniem trójkąta równoramiennego \(\displaystyle{ APC}\) o kącie \(\displaystyle{ 120^{\circ}}\) przy wierzchołku \(\displaystyle{ P}\) i podstawie \(\displaystyle{ AC}\) będącej przekątną kwadratu \(\displaystyle{ d=6\sqrt{2}}\) i wyszło ci:
\(\displaystyle{ \frac{\frac{d}{2}}{h}=\sin{60^{\circ}}\)
\(\displaystyle{ \frac{3\sqrt{2}}{h}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(\displaystyle{ h=2\sqrt{6}}\)
Z Pitagorasa mamy:
\(\displaystyle{ |PB|^{2}=6^{2}-h^{2}}\)
\(\displaystyle{ |PB|^{2}=36-24}\)
\(\displaystyle{ |PB|=2\sqrt{3}}\)
Niech \(\displaystyle{ Q}\) będzie spodkiem wysokości ściany \(\displaystyle{ ASB}\) poprowadzonej z wierzchołka \(\displaystyle{ S}\). Wówczas na mocy cechy \(\displaystyle{ (kkk)}\) mamy podobieństwo trójkątów \(\displaystyle{ SQB}\) i \(\displaystyle{ APB}\), więc
\(\displaystyle{ \frac{h}{|SQ|}=\frac{|PB|}{|QB|}}\)
\(\displaystyle{ \frac{2\sqrt{6}}{|SQ|}=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\)
\(\displaystyle{ |SQ|=3\sqrt{2}}\)
a teraz możemy już policzyć wysokość ostrosłupa \(\displaystyle{ H}\):
\(\displaystyle{ H^{2}=|SQ|^{2}-3^{2}}\)
\(\displaystyle{ H^{2}=18-9}\)
\(\displaystyle{ H=3}\)
i stąd objetość ostrosłupa wynosi:
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}Ha^{2}=\frac{1}{3}9 \cdot 36=108}\)
Jeżeli gdzieś się w rachunkach nie machnąłem to taki będzie wynik.