oblicz dl. przekatnych

[nice88]

oblicz dlugosc przekatnych graniastoslupa prawidlowego o krawedzi podstawy a i wysokosci h , jesli jego podstawa jest szesciokatem

[Piotr Rutkowski]

Najpierw zajmijmy się przekątnymi podstawy. Łatwo zauważyć, że mamy trzy przekątne w podstawie, w tym dwie z nich są takie same. Mając bok \(\displaystyle{ a}\) krótsza przekątna wynosi \(\displaystyle{ d_{1}=a\sqrt{3}}\), a dłuższa \(\displaystyle{ d_{2}=2a}\).
Rozpatrując już cały graniastosłup-, możemy wyliczyć z twierdzenia Pitagorasa jego przekątne.
\(\displaystyle{ D_{1}^{2}=h^{2}+d_{1}^{2}=h^{2}+3a^{2}}\), czyli \(\displaystyle{ D_{1}=\sqrt{h^{2}+3a^{2}}}\).
Druga przekątna będzie miała długość \(\displaystyle{ D_{2}^{2}=h^{2}+d_{2}^{2}=h^{2}+4a^{2}}\), czyli \(\displaystyle{ D_{2}=\sqrt{h^{2}+4a^{2}}}\)