rownolegloscian i krawedzie

[DarkStunt]

Witam
mam problem z tym o to zadaniem:

Uzasadnij, że w każdym równoległościanie suma kwadratów przekątnych równa się sumie kwadratów wszystkich jego krawędzi.

licze na pomoc
z gory dzieki

Pzdr!

[anna_]

wyszukiwarka działa:
9317.htm
239926.htm#p895064

[DarkStunt]

Jako, iż nikt do tej pory nie zamieścił pełnego rozwiązania, nieopartego na wektorach...

Założenia:
\(\displaystyle{ a}\) - pierwsza krawędź podstawy
\(\displaystyle{ b}\) - druga krawędź podstawy
\(\displaystyle{ c}\) - wysokość graniastosłupa
\(\displaystyle{ f_{1}}\) - pierwsza przekątna podstawy
\(\displaystyle{ f_{2}}\) - druga przekątna podstawy
\(\displaystyle{ d_{1}=d_{3}}\) (2 przekątne graniastosłupa oparte na tej samej przekątnej podstawy)
\(\displaystyle{ d_{2}=d_{4}}\) (jak wyżej)

oczywiście:

\(\displaystyle{ a>0}\)
\(\displaystyle{ b>0}\)
\(\displaystyle{ c>0}\)

Teza:

\(\displaystyle{ 4(a^{2}+b^{2}+c^{2})=d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}}\)

Dowód:

Z tw. cosinusów:

\(\displaystyle{ f_{1}^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(2\pi - \alpha)=a^{2}+b^{2}+2ab\cos \alpha}\)

\(\displaystyle{ f_{2}^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\alpha}\)

Z tw. Pitagorasa:

\(\displaystyle{ d_{1}^{2}=f_{1}^{2}+c^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab\cos \alpha+c^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab\cos \alpha}\)

\(\displaystyle{ d_{2}^{2}=f_{2}^{2}+c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \alpha+c^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab\cos \alpha}\)

Zatem, pamiętając iż:

\(\displaystyle{ d_{1}=d_{3}}\)
\(\displaystyle{ d_{2}=d_{4}}\)

\(\displaystyle{ P=4(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\)

\(\displaystyle{ P=d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}=2 \cdot d_{1}^{2}+2 \cdot d_{2}^{2}=2 \cdot(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab\cos \alpha+a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab\cos \alpha)=4(a^{2}+b^{2}+c^{2})=L}\)

C.N.D.

nie rozumiem tego z twierdzenia pitagorasa

[anna_]

To bierz z tego pierwszego linka

[DarkStunt]

wolalbym bez wektorow
prosze o wytlumaczenie skad ten pitagoras
bo ja nie widze trojkata prostokatnego

[anna_]

Dowód bez wektorów jest dla graniastosłupa, a nie dla równoległościanu. Więc zostaje tylko ten z wektorami.

[DarkStunt]

a ktos powie skad te wektory?

[anna_]

Przecież napisano tam na samym początku:

Krawędzie są wektorami: a, b, c, 4 sztuki każdy
przekątne:
1. a+b+c
2. a+b-c
3. a-b+c
4. a-b-c

[DarkStunt]

obczailem wektory z podrecznika z poprzednich klas

wielkie dzieki za pomoc