kat alfa

[1styczen]

W czworokątnym graniastosłupie prawidłowym przekątna podstawy o długości d tworzy z przekątna ściany bocznej wychodzącą z tego samego wierzchołka kąt alfa. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Wyznacz te wartości alfa, dla których zadanie ma rozwiązanie.

[Kacperdev]

Potrafisz to narysować? Z rysunku wynika, że jeżeli przez przekątną sciany bocznej oznaczymy jako \(\displaystyle{ a}\):

\(\displaystyle{ \cos\alpha= \frac{ \frac{d}{2} }{a}= \frac{d}{2a}}\)

Możemy więc wyliczyć \(\displaystyle{ a}\)

Kolejna zależność to że przekątna sciany bocznej z krawędzią podstawy oraz wysokościa graniastosłupa tworzy trójką prostokątny.

Jeżeli w podstawie mamy kwadrat o przekątnej \(\displaystyle{ d}\) to:

\(\displaystyle{ K}\) - krawedz podstawy

\(\displaystyle{ K \sqrt{2}=d}\)
\(\displaystyle{ K= \frac{d \sqrt{2} }{2}}\)

czyli: \(\displaystyle{ K^{2}+H^{2}=a^{2}}\)

Z tego wyliczamy H graniastosłupa i "włala"

---
Co do samego kąta:

Wyobraźmy sobie, że nie mamy graniastosłupa tyko samą podstawe i zaczynamy "budować" na niej graniastosłup. Dla samej podstawy kąt jaki stworzy to oczywiscie \(\displaystyle{ 45^{o}}\) (połowa kąta prostego a w podstawie przeciez kwadrat). Oznacza to, że jezeli zbuduje graniastosłup o niewiarygodnie małej wysokości to MUSI być wiecej jak \(\displaystyle{ 45^{o}}\)
Do tego jest ostry czyli mniej jak \(\displaystyle{ 90^{o}}\)
Ostatecznie:

\(\displaystyle{ 45^{o} < \alpha < 90^{o}}\)