Jakie wartosci moze przyjmowac stosunek pol bocznych

[Piotrek5000]

W graniastosłupie czworokątnym prawidłowym, w którym krawędź podstawy ma długość \(\displaystyle{ a}\), a krawędź boczna ma długość \(\displaystyle{ b}\) (\(\displaystyle{ a<b}\)), połączono środek podstawy górnej z wierzchołkami podstawy dolnej. Stosunek pola powierzchni bocznej otrzymanego w ten sposób ostrosłupa do pola powierzchni bocznej danego graniastosłupa jest równy \(\displaystyle{ m}\). Jakie wartości może przyjmować parametr \(\displaystyle{ m}\) ?

[lukasz1804]

Powierzchnię boczną ostrosłupa stanowią cztery przystające trójkąty równoramienne, w których podstawa ma długość \(\displaystyle{ a}\), zaś długość wysokości opuszczonej na tę podstawę wynosi (wobec twierdzenia Pitagorasa) \(\displaystyle{ \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2+b^2}}\). Zatem pole powierzchni bocznej ostrosłupa jest równe \(\displaystyle{ 4\cdot\frac{a\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2+b^2}}{2}=2a\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2+b^2}=a\sqrt{a^2+4b^2}}\).

Pole powierzchni bocznej graniastosłupa wynosi natomiast \(\displaystyle{ 4ab}\).

Wobec tego i warunku \(\displaystyle{ a<b}\) mamy \(\displaystyle{ 0<m=\frac{a\sqrt{a^2+4b^2}}{4ab}=\frac{\sqrt{a^2+4b^2}}{4b}<\frac{\sqrt{b^2+4b^2}}{4b}=\frac{\sqrt{5}}{4}}\).