Trójkąt prostokątny i stożki powstałe wokół obrotu

[mrowa93]

W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona z wierzchołka kata prostego dzieli przeciwprostokątną na odcinki których długości pozostają w stosunku 1:3 . Oblicz stosunek objętości brył powstałych w wyniku obrotu tego trójkąta wokół dłuższej i krótszej przekątnej.

[Sherlock]

Z podobieństwa trójkątów ABC, DBA i DAC wyraź boki AB i AC za pomocą x.
Wylicz objętości stożków i oblicz ich stosunek (x się poskraca).

Oblicz stosunek objętości brył powstałych w wyniku obrotu tego trójkąta wokół dłuższej i krótszej przekątnej.

chodzi pewnie o przyprostokątne

[mrowa93]

dalej nie wiem od czego zacząć z tych 2 małych trójkatów pitagorasem policzyć te przyprostokątne tego całego dużego ?

[janka]

Z podobieństwa trójkątów powstałych w trójkącie prostokątnym mamy:

\(\displaystyle{ h ^{2}=3x \cdot x}\)

\(\displaystyle{ h=x \sqrt{3}}\)

Teraz z twierdzenia Pitagorasa oblicz boki a i b trójkata prostokątnego.

\(\displaystyle{ a=2x}\),\(\displaystyle{ b=2 \sqrt{3} x}\)

Możesz już policzyć objętości dwóch stożków i je podzielić.

[Sherlock]

Dodam oznaczenia do obliczeń janki.
Zauważ trójkąty ADC oraz BDA, są podobne (dlaczego?) więc:
\(\displaystyle{ \frac{|AD|}{|BD|}= \frac{|CD|}{|AD|}}\) gdzie \(\displaystyle{ |AD|=h}\) czyli
\(\displaystyle{ \frac{h}{3x}= \frac{x}{h} \\ h^2=3x^2 \\ h= \sqrt{3}x}\)
Z tw. Pitagorasa wylicz bok AC (\(\displaystyle{ a}\) u janki) i bok AB (\(\displaystyle{ b}\) u janki)
Pozostaje policzyć objętości stożków. Zauważ, że to co jest wysokością w jednym stożku jest promieniem podstawy w drugim (i na odwrót).