w kulę wpisano dwa stożki
-
kamiolka28
- Użytkownik
- Posty: 235
- Rejestracja: 23 cze 2011, o 10:49
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: lanckorona
- Podziękował: 62 razy
w kulę wpisano dwa stożki
W kulę wpisano dwa stożki obrotowe o wspólnej podstawie, z których jeden ma pole powierzchni bocznej dwa razy mniejsze niż drugi. Oblicz stosunek objętości tych stożków.
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
w kulę wpisano dwa stożki
Oba stożki mają wspólną podstawę, niech jej promień ma długość \(\displaystyle{ r}\). Skoro jeden ze stożków ma dwa razy większe pole powierzchni bocznej niż drugi, to jego tworząca ma długość \(\displaystyle{ 2l}\), gdzie \(\displaystyle{ l}\) jest długością tworzącej stożka o mniejszym polu powierzchni bocznej.
Rozważ przekrój osiowy podanego układu brył (stożki wpisane w kulę). Przekrojem tym jest deltoid o dwóch bokach długości \(\displaystyle{ l}\) i dwóch bokach długości \(\displaystyle{ 2l}\). Deltoid ten jest wpisany w koło (o promieniu \(\displaystyle{ R}\) równemu promieniowi kuli), więc dwa kąty (zawarte między bokami \(\displaystyle{ l,2l}\) są kątami prostymi. Dłuższa przekątna deltoidu jest oczywiście średnicą koła. Zatem z twierdzenia Pitagorasa mamy \(\displaystyle{ l^2+(2l)^2=(2R)^2}\), tj. \(\displaystyle{ 2R=l\sqrt{5}}\).
Co więcej, ta sama przekątna deltoidu ma długość równą sumie długości wysokości obu stożków. Korzystając teraz ponownie z twierdzenia Pitagorasa dostajemy \(\displaystyle{ \sqrt{(2l)^2-r^2}+\sqrt{l^2-r^2}=2R=l\sqrt{5}}\). Podnosząc do kwadratu strony równania łatwo otrzymujemy, że \(\displaystyle{ 4l^2=5r^2}\).
Stosunek objętości stożków wynosi natomiast \(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{3}\pi r^2\sqrt{(2l)^2-r^2}}{\frac{1}{3}\pi r^2\sqrt{l^2-r^2}}=\sqrt{\frac{4l^2-r^2}{l^2-r^2}}}\). Stąd i z otrzymanej zależności \(\displaystyle{ 4l^2=5r^2}\) łatwo otrzymasz żądany stosunek objętości.
Rozważ przekrój osiowy podanego układu brył (stożki wpisane w kulę). Przekrojem tym jest deltoid o dwóch bokach długości \(\displaystyle{ l}\) i dwóch bokach długości \(\displaystyle{ 2l}\). Deltoid ten jest wpisany w koło (o promieniu \(\displaystyle{ R}\) równemu promieniowi kuli), więc dwa kąty (zawarte między bokami \(\displaystyle{ l,2l}\) są kątami prostymi. Dłuższa przekątna deltoidu jest oczywiście średnicą koła. Zatem z twierdzenia Pitagorasa mamy \(\displaystyle{ l^2+(2l)^2=(2R)^2}\), tj. \(\displaystyle{ 2R=l\sqrt{5}}\).
Co więcej, ta sama przekątna deltoidu ma długość równą sumie długości wysokości obu stożków. Korzystając teraz ponownie z twierdzenia Pitagorasa dostajemy \(\displaystyle{ \sqrt{(2l)^2-r^2}+\sqrt{l^2-r^2}=2R=l\sqrt{5}}\). Podnosząc do kwadratu strony równania łatwo otrzymujemy, że \(\displaystyle{ 4l^2=5r^2}\).
Stosunek objętości stożków wynosi natomiast \(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{3}\pi r^2\sqrt{(2l)^2-r^2}}{\frac{1}{3}\pi r^2\sqrt{l^2-r^2}}=\sqrt{\frac{4l^2-r^2}{l^2-r^2}}}\). Stąd i z otrzymanej zależności \(\displaystyle{ 4l^2=5r^2}\) łatwo otrzymasz żądany stosunek objętości.