stozki opisane na kuli
-
marrtusska
- Użytkownik
- Posty: 19
- Rejestracja: 12 lut 2007, o 20:44
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: białystok
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 2 razy
stozki opisane na kuli
na kuli o promieniu R = 4 cm opisujemy stozki o promieniu r i wysokosci H . sposrod wszystkich takich stozkow wyznacz ten, ktory ma najmniejsza objetosc. oblicz promien i wysokosc znaleznionego stozka.
-
wb
- Użytkownik
- Posty: 3507
- Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Brodnica
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1260 razy
stozki opisane na kuli
Pole trójkąta, który jest przekrojem osiowym stożka:
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}\cdot 2rH=rH}\)
Połowa obwodu tego trójkata:
\(\displaystyle{ p=\frac{2r+2l}{2}=r+l=r+\sqrt{H^2+r^2}}\)
Wówczas:
\(\displaystyle{ R=4=\frac{rH}{r+\sqrt{H^2+r^2}}}\)
Po przekształceniu otrzymujemy z tego wzoru:
\(\displaystyle{ r^2=\frac{16H^2}{H^2-8H}}\)
Objętość stożka wtedy:
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}\pi r^2 H=...=\frac{16\pi}{3}\frac{H^2}{H-8} \\ V'(H)=\frac{16\pi}{3}\frac{2H(H-8)-H^2}{(H-8)^2}=0 \\ H^2-16H=0 \\ H=16}\)
Pamietaj o uzasadnieniu rodzaju extremum i o dziedzinie funkcji i pochodnej.
I na koniec oblicz promień.
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}\cdot 2rH=rH}\)
Połowa obwodu tego trójkata:
\(\displaystyle{ p=\frac{2r+2l}{2}=r+l=r+\sqrt{H^2+r^2}}\)
Wówczas:
\(\displaystyle{ R=4=\frac{rH}{r+\sqrt{H^2+r^2}}}\)
Po przekształceniu otrzymujemy z tego wzoru:
\(\displaystyle{ r^2=\frac{16H^2}{H^2-8H}}\)
Objętość stożka wtedy:
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}\pi r^2 H=...=\frac{16\pi}{3}\frac{H^2}{H-8} \\ V'(H)=\frac{16\pi}{3}\frac{2H(H-8)-H^2}{(H-8)^2}=0 \\ H^2-16H=0 \\ H=16}\)
Pamietaj o uzasadnieniu rodzaju extremum i o dziedzinie funkcji i pochodnej.
I na koniec oblicz promień.