W kulę o promieniu \(\displaystyle{ R}\) wpisano stożek, w którym tworząca jest równa średnicy podstawy. Obydwie bryły przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy stożka. Szerokość otrzymanego w przecięciu pierścienia kołowego zawartego między powierzchnią kulistą a powierzchnią boczną stożka równa się \(\displaystyle{ m}\).
Znaleźć odległość płaszczyzny tnącej od wierzchołka stożka.
W kulę wpisano stożek...
-
martaa
- Użytkownik
- Posty: 136
- Rejestracja: 2 lut 2007, o 18:50
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 40 razy
W kulę wpisano stożek...
Zadanie sprowadza się do problemu z okręgiem opisanym na trójkącie równobocznym (ABC), który przecięty jest prostą równoległą do jednego z boków (BC) (znamy długość m odcinka należącego do tej prostej zawartego pomiędzy bokiem trójkąta a okręgiem).
Należy rozpatrzeć 2 przypadki: 1) środek okręgu leży po przeciwnej stronie lub 2) po tej samej stronie prostej przecinającej trójkąt co A (jeśli środek okręgu leży na tej prostej, dostajemy te same wyniki w obydwu przypadkach).
Prosta przecina AB w punkcie X, AO w punkcie Y, XY przecina okrąg bliżej punktu X niż Y w punkcie Z. Niech AZ = h (szukana długość). Oczywiście \(\displaystyle{ XZ = \frac{h\sqrt{3}}{3}}\)
1) Z tw. Pitagorasa dla ZYO: \(\displaystyle{ (\frac{h\sqrt{3}}{3} + m)^2 + (R - h)^2 = R^2}\). Odrzucamy rozw. ujemne równania kwadratowego i dostajemy h.
2) Podobnie, ale w drugim nawiasie jest R+h.
Należy rozpatrzeć 2 przypadki: 1) środek okręgu leży po przeciwnej stronie lub 2) po tej samej stronie prostej przecinającej trójkąt co A (jeśli środek okręgu leży na tej prostej, dostajemy te same wyniki w obydwu przypadkach).
Prosta przecina AB w punkcie X, AO w punkcie Y, XY przecina okrąg bliżej punktu X niż Y w punkcie Z. Niech AZ = h (szukana długość). Oczywiście \(\displaystyle{ XZ = \frac{h\sqrt{3}}{3}}\)
1) Z tw. Pitagorasa dla ZYO: \(\displaystyle{ (\frac{h\sqrt{3}}{3} + m)^2 + (R - h)^2 = R^2}\). Odrzucamy rozw. ujemne równania kwadratowego i dostajemy h.
2) Podobnie, ale w drugim nawiasie jest R+h.
-
florek177
- Użytkownik
- Posty: 3018
- Rejestracja: 23 mar 2005, o 10:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdynia
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 322 razy
W kulę wpisano stożek...
Przekrojem jest trójkąt równoboczny wpisany w okrąg, którego boki ( a ) i wysokość ( h ) wyrażamy w - R
\(\displaystyle{ m = \pi (y^{2} - x^{2})}\)
Mamy dwa przypadki: a) d > R ; b) d < R.
a) \(\displaystyle{ d = R + z}\) ;
Mamy: z pitagorasa - \(\displaystyle{ y^{2} = R^{2} - z^{2}}\)
z podobieństwa trójkątów: \(\displaystyle{ \frac{R + z}{x} = \frac{h}{\frac{a}{2}} = \sqrt{3}}\) --> \(\displaystyle{ x^{2} = \frac{(R + z)^{2}}{3}}\)
Wstawiamy do m i wyliczamy z.
\(\displaystyle{ z = \frac{1}{4 \pi} \sqrt{9 R^{2} \pi^{2} - 12 \pi m} - \pi R}\)
b) \(\displaystyle{ d = R - z}\) ;
Mamy: z pitagorasa - \(\displaystyle{ y^{2} = R^{2} - z^{2}}\)
z podobieństwa trójkątów: \(\displaystyle{ \frac{R - z}{x} = \frac{h}{\frac{a}{2}} = \sqrt{3}}\) --> \(\displaystyle{ x^{2} = \frac{(R - z)^{2}}{3}}\)
\(\displaystyle{ z = \frac{1}{4 \pi} \sqrt{9 R^{2} \pi^{2} - 12 \pi m} + \pi R}\)
\(\displaystyle{ m = \pi (y^{2} - x^{2})}\)
Mamy dwa przypadki: a) d > R ; b) d < R.
a) \(\displaystyle{ d = R + z}\) ;
Mamy: z pitagorasa - \(\displaystyle{ y^{2} = R^{2} - z^{2}}\)
z podobieństwa trójkątów: \(\displaystyle{ \frac{R + z}{x} = \frac{h}{\frac{a}{2}} = \sqrt{3}}\) --> \(\displaystyle{ x^{2} = \frac{(R + z)^{2}}{3}}\)
Wstawiamy do m i wyliczamy z.
\(\displaystyle{ z = \frac{1}{4 \pi} \sqrt{9 R^{2} \pi^{2} - 12 \pi m} - \pi R}\)
b) \(\displaystyle{ d = R - z}\) ;
Mamy: z pitagorasa - \(\displaystyle{ y^{2} = R^{2} - z^{2}}\)
z podobieństwa trójkątów: \(\displaystyle{ \frac{R - z}{x} = \frac{h}{\frac{a}{2}} = \sqrt{3}}\) --> \(\displaystyle{ x^{2} = \frac{(R - z)^{2}}{3}}\)
\(\displaystyle{ z = \frac{1}{4 \pi} \sqrt{9 R^{2} \pi^{2} - 12 \pi m} + \pi R}\)