ostrosłup - romb- użycie promieniu okręgu wpisanego

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
Awatar użytkownika
Kamilwit
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 6 lis 2011, o 12:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 1 raz

ostrosłup - romb- użycie promieniu okręgu wpisanego

Post autor: Kamilwit »

Podstawą ostrosłupa jest romb o boku długości 15cm. Każda ze ścian bocznych tworzy z płaszczyzną podstawy kąt \(\displaystyle{ \alpha = \frac{\pi}{3}}\) Pole powierzchni bocznej jest równe 720 cm2. Oblicz objętość.

rysunek:

Nie wiem jak tu dalej dodać rysunek plikiem.
Po pierwsze - czy wysokość ściany bocznej dzieli podstawę rombu na połowę ? Dlaczego ?
Po drugie poprosiłbym o sposób obliczenia wykorzystując r - promień okręgu wpisanego. Lub też inne sposoby.
Ja zrobiłem tak:
Oznaczenia te co zawsze:

a - długość boku podstawy
hp - wysokość podstawy
hb - wysokość ściany bocznej
H - wysokość ostrosłupu
Pp - pole podstawy
\(\displaystyle{ Pb = 4 * 15 *h_b frac { 1 } { 2 } = 720 Leftrightarrow h_b = frac { 720 } { 30 } Rightarrow \(\displaystyle{ h_b = 24}\)
z trójkąta 90,60,30
\(\displaystyle{ h_p = 12}\)
H = \(\displaystyle{ 12\ \sqrt{ \ 3 }}\)
w podstawie mamy 4 identyczne trójkąty stąd :
\(\displaystyle{ P_p = 4 * 15 * \ \frac { 1 } { 2 } \ * 12 = 360 cm^2}\)
\(\displaystyle{ V = 360 cm^2 * 12\ \sqrt{ \ 3 } * \ \frac { 1 } { 3 } \ =1440 \ \ \sqrt{ \ 3 } cm^3}\)
I tyle właśnie ma wyjść, czyli moje założenia były poprawne, ale no nie wiem dlaczego mogę tak zrobić ..}\)
Ostatnio zmieniony 12 lut 2012, o 18:04 przez Kamilwit, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
Inkwizytor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4105
Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 428 razy

ostrosłup - romb- użycie promieniu okręgu wpisanego

Post autor: Inkwizytor »

Sęk w tym że wysokość ściany bocznej nie dzieli krawędzi podstawy na połowy. Przecież ściana boczna nie jest trójkątem równoramiennym. Narysuj widok z góry. Wiele wyjasni.

Zwróć uwagę że wysokości przeciwległych ścian bocznych tworzą trójkąt równoramienny (i nie tylko - przy dobrym uzasadnieniu) w którym wysokość pokrywa się z wysokością ostrosłupa
Ostatnio zmieniony 12 lut 2012, o 17:21 przez Inkwizytor, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
Kamilwit
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 6 lis 2011, o 12:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 1 raz

ostrosłup - romb- użycie promieniu okręgu wpisanego

Post autor: Kamilwit »

"Narysuj widok z góry" hmm szczerze mówiąc, to nie wiem jak ;x nie odnajduję się w tych rysunkach...
to jak to zrobić ? Wynik nawet dobry wyszedł ;x ..
Jak wykorzystać fakt o r - małym promieniu - wpisanego okręgu ?

Przepraszam, ale ja tego nie widzę ; x , dla mnie tworzą dwa takie same trójkąty. A ich podstawy jak na rysunku idą pod pewnym kątem. Czyli druga idzie jak odbicie lustrzane, stąd nie skleją się w jedną ( podstawę ) . ?
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

ostrosłup - romb- użycie promieniu okręgu wpisanego

Post autor: piasek101 »

Kąt jaki podali podpowiada, że spodek wysokości ostrosłupa leży w punkcie przecięcia przekątnych podstawy.
Awatar użytkownika
Kamilwit
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 6 lis 2011, o 12:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 1 raz

ostrosłup - romb- użycie promieniu okręgu wpisanego

Post autor: Kamilwit »

dzięki, w sumie dużo mi to nie mówi, bo tak mam na rysunku akurat. W sumie i tak rysowałbym tam wysokość i tak ? JAk to kąt nas o tym informuje ?? ten kąt \(\displaystyle{ 60}\) ??
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

ostrosłup - romb- użycie promieniu okręgu wpisanego

Post autor: piasek101 »

No i z trójkąta prostokątnego (znamy jego kąt ostry) : wysokość ściany (prawie dana); wysokość ostrosłupa; promień okręgu wpisanego w podstawę - dostaniesz dwie ostatnie długości.

[edit] Jeśli ściany boczne są pod takim samym kątem do podstawy to spodek wysokości leży w środku okręgu który jest wpisany w podstawę.
Awatar użytkownika
Kamilwit
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 6 lis 2011, o 12:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 1 raz

ostrosłup - romb- użycie promieniu okręgu wpisanego

Post autor: Kamilwit »

ale kolega wcześniej napisał, że wysokość ściany bocznej nie dzieli podstawy na połowę, bo to nie jest trójkąt równoramienny. W takim razie jak policzyć te \(\displaystyle{ h_b}\) ?? oznaczenia, jak powyżej.

a mógłbyś zapisać obliczenia, co z czego , z jakiego trójkąta, bo ja jestem wzrokowcem.
Rysunek specjalnie dałem powyżej.
Ostatnio zmieniony 12 lut 2012, o 18:02 przez Kamilwit, łącznie zmieniany 1 raz.
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

ostrosłup - romb- użycie promieniu okręgu wpisanego

Post autor: piasek101 »

Jedno drugiemu nie przeczy. Trójkąty nie są równoramienne ale mają jednakowe wysokości.

Pole czterech znasz i ich podstawy też - jedyna niewiadoma to ta o którą pytasz.
Awatar użytkownika
Kamilwit
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 6 lis 2011, o 12:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 1 raz

ostrosłup - romb- użycie promieniu okręgu wpisanego

Post autor: Kamilwit »

czyli i tak trzeba liczyć jak ja w 1 poście ?? A gdzie tu można byłoby użyć tego r - pr. okręgu wpisanego ?
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

ostrosłup - romb- użycie promieniu okręgu wpisanego

Post autor: piasek101 »

Do obliczenia pola podstawy się przyda.
Awatar użytkownika
Kamilwit
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 6 lis 2011, o 12:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 1 raz

ostrosłup - romb- użycie promieniu okręgu wpisanego

Post autor: Kamilwit »

czyli jak ? Bo ja jak w 1 poście, liczyłem z 4 jednakowych trójkątów.
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

ostrosłup - romb- użycie promieniu okręgu wpisanego

Post autor: piasek101 »

I tak możesz, bo \(\displaystyle{ r=12}\)
Awatar użytkownika
Inkwizytor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4105
Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 428 razy

ostrosłup - romb- użycie promieniu okręgu wpisanego

Post autor: Inkwizytor »

Można też zauważyć że przekrój osiowy przez: wysokości przeciwległych ścian bocznych i wysokości ostrosłupa dają trójkąt równoboczny
Awatar użytkownika
Kamilwit
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 6 lis 2011, o 12:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 1 raz

ostrosłup - romb- użycie promieniu okręgu wpisanego

Post autor: Kamilwit »

mógłbyś wyjaśnić, albo narysować czemu ?? , bo jak wspominałem wcześniej , nawet równoramiennego w stanie nie jestem zobaczyć ;x .
Awatar użytkownika
Inkwizytor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4105
Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 428 razy

ostrosłup - romb- użycie promieniu okręgu wpisanego

Post autor: Inkwizytor »

Skoro wszystkie wysokości ścian bocznych są tej samej długości, a pewien kąt wynosi...
ODPOWIEDZ