ostrosłup prawidłowy trójkątny

[Kamilwit]

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny. Długość krawędzi podstawy ostrosłupa jest równa \(\displaystyle{ a}\), krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem \(\displaystyle{ \alpha}\). Ostrosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek przeciwległej krawędzi bocznej.
a) Oblicz pole otrzymanego przekroju. b) Wyznacz sinus kąta nachylenia płaszczyzny przekroju do płaszczyzny podstawy ostrosłupa.

Jak dołączyć obrazek jako plik tu ??


Oznaczenia te co zawsze:

\(\displaystyle{ a}\) - długość boku podstawy
\(\displaystyle{ h_p}\) - wysokość podstawy
\(\displaystyle{ h_b}\) - wysokość ściany bocznej
\(\displaystyle{ H}\) - wysokość ostrosłupu
\(\displaystyle{ P_p}\) - pole podstawy


\(\displaystyle{ |AS| = \ \frac { 2 } { 3 } \ \cdot \ \frac { a\ \sqrt{ \ 3 } } { 2 } \ = \ \frac { a\ \sqrt{ \ 3 } } { 3 }}\)

\(\displaystyle{ \tg \alpha = \ \frac { H } { AS }}\)

\(\displaystyle{ H = \tg \alpha \cdot \frac { a\ \sqrt{ \ 3 } } { 3 }}\)

\(\displaystyle{ AS^2 + H^2 = AE^2}\)

\(\displaystyle{ ( \frac { a\ \sqrt{ \ 3 } } { 3 } \ )^2 +(\tg \alpha \cdot \frac { a\ \sqrt{ \ 3 } } { 3 } \)^2 = AE^2}\)
\(\displaystyle{ AE^2 = \ \frac { a^2 + \tg^2 \alpha a^2 } { 3 } \ \Rightarrow AE = \frac { a + \tg \alpha\ a } { \ \sqrt{ 3\ } }}\)

pole przekroju CAD = ?
\(\displaystyle{ ED = DB = \ \frac { 1 } { 2 } \ \cdot \frac { a + \tg \alpha\ a } { \ \sqrt{ 3\ } }}\)

co dalej ??

[kamil13151]

\(\displaystyle{ AE^2 = \ \frac { a^2 + \tg^2 \alpha a^2 } { 3 } \ \Rightarrow AE = \frac { a + \tg \alpha\ a } { \ \sqrt{ 3\ } }}\)
Tu jest źle.

[Sherlock]

Może są bardziej eleganckie rozwiązania niż poniżej...
Szukamy pola trójkąta ABH. Długość odcinka AB znamy, trza znaleźć długość wysokości opadającej na ten bok czyli |GH|.
Wersja 1 - krótsza
Liczymy krawędź boczną ostrosłupa (miast tw. Pitagorasa lepiej użyć funkcji trygonometrycznych np. w trójkącie DEC). Znając długość krawędzi bocznej, bierzemy jej połowę i w trójkącie GCH możemy użyć twierdzenia cosinusów i wyliczyć GH.
Wersja 2 - dłuższa
Nie potrzebujemy liczyć długości krawędzi bocznej ostrosłupa. Zauważ, że trójkąty DEC oraz HFC są podobne. W jakiej skali? Znając skalę wylicz HF i z trygonometrii w trójkącie HFC policz FC. Po co? Odejmij FC od GC, otrzymasz GF. W trójkącie GFH zastosuj tw. Pitagorasa i wyznacz GH...

Jak dołączyć obrazek jako plik tu ??

wrzuć link do grafiki pomiędzy [img]

[Kamilwit]

Dzięki bardzo za taką fachową pomoc , i rysuneczek i w ogóle .