Przekrój osrosłupa

[Andrzejmm]

W ostosłupie prawidłowym trójkątnym o podstawie ABC i wierzchołku S poprowadzono płaszczyznę przechodzącą przez środki krawędzi AC, BC, AS, BS. Pole otrzymanego w ten sposób przekroju jest 4 razy mniejsze od pola powierzchni bocznej tego ostrosłupa. Oblicz kosinus kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do jego płaszczyzny podstawy.

We wskazówce załączonej do zadania jest napisane , by wykazać, że przekrój ów jest prostokątem. W tym miałem kłopot.
Proszę o pomoc.

[Lady Tilly]

Weź pod uwagę fakt, iz sciany boczne są trójkatami równoramiennymi. Nachylenie odcinka łżczącego środki AC i AS oraz odcinka łączącego środki BC i BS do płaszczyzny podstawy ma taki sam kąt. Z kolei odcinek łaczacy srodki boków podstawy jest równoległy do AB i zarazem jest równoległy do odcinka łaczacego środki boków AS i BS.

[Andrzejmm]

To za mało. Na tej podstawie mogę wysnuć tylko , że przekrój jest równoległobokiem.
Myślę, że trzeba pokazać, że w przekroju wszystkie kąty są proste.

[Sir George]

Na tej podstawie mogę wysnuć tylko , że przekrój jest równoległobokiem.

Tak, a następnie zauważ, że przekrój jest zachowywany w symetrii względem płaszczyzny pionowej zawierającej wysokość i wierzchołek C ostrosłupa. Stąd otrzymujesz

że w przekroju wszystkie kąty są proste.

Pozdrawiam,

[Andrzejmm]

przekrój jest zachowywany w symetrii względem płaszczyzny pionowej zawierającej wysokość i wierzchołek C ostrosłupa

Nie rozumiem albo nie wiem co to ma dać. Ta płaszczyzna jest prostopadła do podstawy i ma z nią tylko jeden punkt wspólny C?

[florek177]

W trójkącie równoramiennym ( rówenobocznym ) odcinek łączący środki ramion jest równy połowie jego podstawy. Mamy wspólną podstawę, więc dwa boki czworokąta są równe a/2 , gdzie a - bok podstawy. Pozostałe dwa boki są równe ( łączą środki ramion ze środkami krawędzi podstawy).
Przekrój jest symetryczny względem płaszczyzny prostopadłej do podstawy i przechodzącej przez jej wysokość, więc nie może być równolgłobokiem - jest więc prostokątem lub kwadratem.

[Andrzejmm]

Rozumiem. Jeśli chodzi o ten drugi bok prostokąta- przekroju to ma on miarę b/2, co wynika z podobieństwa trójkątów, gdzie b to długość krawędzi bocznej ostrosłupa.