Jak to obliczyć?

[Roxxx92]

\(\displaystyle{ 8 \sqrt{3}}\) = \(\displaystyle{ a ^{3}}\)


Zadanie w całości to :
Do pojemnika z wodą (gdzie poziom wody sięga 10cm) w kształcie graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzie podstawy 4cm wpadła sześcienna kostka. Poziom wody w pojemniku podniósł się o 2 cm. Oblicz długość krawędzi kostki.


Obliczyłam objętość zapełnioną wodą czyli z h= 10cm wyszło mi \(\displaystyle{ V _{1}}\) = \(\displaystyle{ 40 \sqrt{3}}\) \(\displaystyle{ cm ^{3}}\)
później obliczyłam objętość tej części w której woda się podniosła czyli z h=2cm i wyszło mi \(\displaystyle{ V _{2}}\) = \(\displaystyle{ 8 \sqrt{3}}\) \(\displaystyle{ cm ^{3}}\) jednocześnie jest to objętością tej sześciennej kostki.
i w tym miejscu stanęłam.. ;/ proszę o pomoc, najlepiej całe rozwiązanie, porównam sobie z moim być może zrobiłam jakiś błąd.

[mat_61]

To co masz zrobione jest OK. Nie trzeba w ogóle liczyć objętości samej wody.

\(\displaystyle{ a^3=8 \sqrt{3} \\ a= \sqrt[3]{8 \sqrt{3}} \\ a=...}\)

Potrafisz obliczyć dalej?

[Roxxx92]

mat_61,
No właśnie w tym problem że nie umiem dalej . ;/
Do takiego zapisu też doszłam, ale mam kompletną dziurę w głowie.


dalej doszłam do zapisu
a= \(\displaystyle{ \sqrt[3]{8}}\) \(\displaystyle{ \sqrt[3]{ \sqrt{3} }}\)



a = 2 \(\displaystyle{ \sqrt[3]{ \sqrt{3} }}\)

[mat_61]

OK. A wiesz jak inaczej zapisać:

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{ \sqrt{3} }=...}\)

[Roxxx92]

mat_61,
Niestety nie. I w tym cały problem, bo tak to może ruszyłabym z tym dalej .
pomożesz?

[mat_61]

Do ewentualnego zapamiętania:

\(\displaystyle{ \sqrt[m]{ \sqrt[n]{a} } = \sqrt[m \cdot n]{a}}\)

Teraz chyba sobie poradzisz.

[Roxxx92]

mat_61,
a = 2 \(\displaystyle{ \sqrt[3 \cdot 2]{ \sqrt{3} }}\)

a = 2 \(\displaystyle{ \sqrt[6]{3}}\)

I na tym koniec? ;>

[mat_61]

W górnym zapisie "zlikwiduj" ten wewnętrzny pierwiastek (bo masz już przecież pomnożone stopnie obydwu pierwiastków).
I na tym koniec (masz przecież obliczoną długość krawędzi kostki).

Wracając do mojej wcześniejszej wskazówki, to możesz jednak zostawić obliczenie objętości samej wody. Dzięki temu wiadomo, że jest jej na tyle dużo, że kostka w całości zanurzyła się w tej wodzie (zakładając, że jest z odpowiedniego materiału). Gdyby wody było za mało, to wówczas cześć kostki wystawałaby ponad powierzchnię wody.

[Roxxx92]

No tak, tak zapisałam, tylko tu się pomyliłam.
Dziękuję serdecznie za pomoc