Krawędzie prostopadłościanu tworzą ciąg geometryczny

[aat]

Długości trzech krawędzi o wspólnym wierzchołku pewnego prostopadłościanu tworzą ciąg geometryczny. Objętość prostopadłościanu wynosi 1728\(\displaystyle{ cm^{3}}\)
Oblicz pole powierzchni tego prostopadłościanu.

Bardzo proszę o pomoc w tym zadaniu...

[mario54]

Układ równań, jedno z objętości drugie ze średniej geometrycznej
\(\displaystyle{ \begin{cases} a \cdot aq \cdot aq ^{2}=1728 \\ (aq) ^{2} =aq ^{2} \cdot a \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ aq}\) i \(\displaystyle{ aq ^{2}}\) to długości tych krawędzi.

edit: tak nie wyjdzie zbytnio dobrze
wychodzi że \(\displaystyle{ a \cdot q = 12}\) jakby brakowało jednej danej albo czegoś nie umiem

[kropka+]

Jeżeli w zadaniu nie podano pierwszego wyrazu ciągu lub ilorazu ciągu, to nie otrzymasz pola jako konkretnej liczby.
Krawędzie to \(\displaystyle{ a, \ aq \ i \ aq ^{2}}\)

Iloczyn krawędzi to objętość, czyli

\(\displaystyle{ V=a ^{3}q ^{3}=1728 \Rightarrow aq= \sqrt[3]{1728}=12 \Rightarrow q= \frac{12}{a}}\)

Pole to

\(\displaystyle{ P=2a ^{2}q+2a ^{2}q ^{2}+2a ^{2}q ^{3}=2a ^{2}(q+q ^{2}+q ^{3})= \\ \\
=2a ^{2} \left( \frac{12}{a}+ \frac{144}{a ^{2} }+ \frac{1728}{a ^{3} } \right)= \frac{24a ^{2}+288a+3456}{a}}\)

Teraz możemy podstawiać różne a i dostaniemy różne prostopadłościany spełniające warunki zadania np.

\(\displaystyle{ a=1 \Rightarrow q=12\\
a=2 \Rightarrow q=6\\
a= \frac{1}{3} \Rightarrow q=36\\
itd.}\)

[aat]

Ale odpowiedź w książce jest taka : a= 4cm b= 12cm c= 36cm a P= 1248\(\displaystyle{ cm^{2}}\)

Tylko ja nie wiem jak do tego dojść ;(

[kropka+]

Sprawdź, czy dobrze przepisałaś treść zadania. Z tego, co napisałaś wynika nieskończenie wiele rozwiązań.

[aat]

Sprawdziłam, zadanie jest przepisane dobrze. Sprawdziłam jeszcze czy ta odpowiedź dotyczy tego zadania... dotyczy, bo 4*12*36 = 1728

Więc z zadania wiemy tylko że ciąg jest geometryczny i że pomnożone przez siebie wyrazy tego ciągu dają nam wynik 1728.

Pomocy!

[kropka+]

Krawędzie to \(\displaystyle{ a, \ aq \ i \ aq ^{2}}\)

Teraz możemy podstawiać różne a i dostaniemy różne prostopadłościany spełniające warunki zadania np.

\(\displaystyle{ a=1 \Rightarrow q=12\\
a=2 \Rightarrow q=6\\
a= \frac{1}{3} \Rightarrow q=36\\
itd.}\)

Czy ty nie rozumiesz, że dla moich nieskończenie wielu rozwiązań objętość również wynosi \(\displaystyle{ 1728}\) ?

Np.\(\displaystyle{ a=1 \ q=12}\) to krawędzie mają długości \(\displaystyle{ 1,12,144 \Rightarrow V=12 \cdot 144=1728}\)

Wynika z tego, że albo źle przepisałaś treść, albo jest błąd w książce.

[aat]

Nie ma żadnego błędu, dostałam to zadanie od wychowawczyni z kółka... głowię się dalej. Dla mnie ciąg geometryczny ma po prostu 3 kolejne wyrazy które są kolejno krótszą, dłuższą i najdłuższą krawędzią prostopadłościanu które po pomnożeniu dają wynik objętości tego prostopadłościanu. Niestety nie rozumiem jak możesz mieć nieskończenie wiele rozwiązań, wybacz - możliwe że nie jestem jeszcze na Twoim poziomie.-- 17 sty 2012, o 00:01 --Znowu sprawdziłam treść - nic się nie zmieniło

[kropka+]

Podam przykładowe rozwiązania:

\(\displaystyle{ a=1,b=12,c=144\\
a=2,b=12,c=72\\
a= \frac{1}{3},b=12,c=432\\
a=4,b=12,c=36\\
a=6,b=12,c=24}\)

Sprawdź, czy podane trójki liczb a, b i c są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego i czy ich iloczyn wynosi \(\displaystyle{ 1728}\).

Reasumując, krawędzie prostopadłościanu a, b i c spełniają układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} b=12 \\ ac=144 \end{cases}}\)

Ponieważ równań jest mniej niż niewiadomych, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań takich, że:

\(\displaystyle{ a}\) - dowolna liczba dodatnia

\(\displaystyle{ b=12\\ \\
c= \frac{144}{a}}\)

Wszystkie te prostopadłościany mają żądaną objętość lecz różne pola powierzchni całkowitej ( gdy zamienimy miejscami a i c to pole oczywiście nie zmieni się).