Pole i objętość graniastosłupa

[naznaczony]

Wyznacz pole powierzchni całkowitej i objętość graniastosłupa prostego. Którego podstawą jest romb o przekątnych a,b oraz przekątna ściany bocznej ma długość c.

A więc chciałbym się zapytać czy robię dobrze obliczenia do pewnego momentu bo potem mam jakieś "kosmiczne" liczby

Dane:
a
b
c
Szukane:
\(\displaystyle{ Ppc=2Pp+Pb}\)
\(\displaystyle{ V=Pp \cdot H}\)
Mogę od razu obliczyć pole podstawy:
\(\displaystyle{ Pp= \frac{ab}{2}}\)
Wyznaczyłem krawędź podstawy, narysowałem romb i tam zaznaczyłem sobie trójkąt prostokątny.
o przyprostokątnych a i b ; przeciw prostokątnej x(krawędź rombu)
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2}a\right)^2 +\left( \frac{1}{2}b \right)^2 =x^{2}}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{1}{2} \sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)

Skoro mam x mogę obliczyć wysokość, korzystając z twierdzenia pitagorasa.
\(\displaystyle{ x^{2}+H^{2}=c^{2}}\)
\(\displaystyle{ ( \frac{1}{2} \sqrt{a^{2}+b^{2}})^{2}+H^{2}=c^{2}}\)
\(\displaystyle{ H^{2}=c^{2}- \frac{1}{4} a^{2}+b^{2}}\)
\(\displaystyle{ H= \sqrt{c^{2}- \frac{1}{4} a^{2}+b^{2}}}\)

Czy dobrze robię do tego momentu ?

[Freddy Eliot]

Prawie: powinno być : \(\displaystyle{ H^{2}=c^{2}- \frac{1}{4} a^{2}- \frac{1}{4} b^{2}.}\)

[naznaczony]

Czyli objętość to
\(\displaystyle{ V=Pp \cdot H}\)
\(\displaystyle{ V= \frac{ab}{2} \cdot \sqrt{c^{2}- \frac{1}{4}a^{2}+ \frac{1}{4}b^2 }}\)
\(\displaystyle{ V= \frac{ab \sqrt{c^{2}- \frac{1}{4}a^{2}+ \frac{1}{4}b^{2} } }{2}}\)

tak?

[Freddy Eliot]

\(\displaystyle{ V= \frac{ab \sqrt{c^{2}- \frac{1}{4}a^{2}-\frac{1}{4}b^{2} } }{2}}\)

[naznaczony]

A pole całkowite:
\(\displaystyle{ Ppc=2Pp+Pb}\)
najpierw pole boczne
\(\displaystyle{ Pb=4xH}\)
\(\displaystyle{ Pb=4 \cdot \frac{1}{2} \sqrt{a^{2}+b^{2}} \cdot \sqrt{c^{2}- \frac{1}{4}a^{2}+ \frac{1}{4}b^{2} }}\)
\(\displaystyle{ Pb=2\sqrt{a^{2}+b^{2}} \cdot \sqrt{c^{2}- \frac{1}{4}a^{2}+ \frac{1}{4}b^{2}}\)
I tak mam to zostawić ?

[Freddy Eliot]

Przy \(\displaystyle{ \frac{1}{4}b^{2}}\) również stoi \(\displaystyle{ -}\). Dla \(\displaystyle{ V}\) też. \(\displaystyle{ Pb=2\sqrt{a^{2}+b^{2}} \cdot \sqrt{c^{2}- \frac{1}{4}a^{2}-\frac{1}{4}b^{2}.}\) Raczej nic już z tym nie zrobisz. Możesz jeszcze wymnożyć liczby pod pierwiastkiem, ale to raczej bez sensu.
Wyrażenia są kosmiczne, bo zostały obliczone na znakach. Dla odpowiednich liczb wszystko powinno się ładnie poskracać.