W graniastosłupie prostym o podstawie trójkąta ...
-
galimatias
- Użytkownik
- Posty: 18
- Rejestracja: 24 sty 2007, o 21:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krosno
W graniastosłupie prostym o podstawie trójkąta ...
W graniastosłupie prostym o podstawie trójkąta prostokątnego przekątne ścian bocznych wychodzące z wierzchołka kąta prostego tworzą z krawędziami podstawy kąty odpowiednio $alpha$ i $eta$. Znajdź cosinus kąta między tymi przekątnymi.
-
martaa
- Użytkownik
- Posty: 136
- Rejestracja: 2 lut 2007, o 18:50
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 40 razy
W graniastosłupie prostym o podstawie trójkąta ...
Niech A, B, C to wierzchołki podstawy (C przy kącie prostym) A', B' C' - wierzchołki drugiej podstawy, a h - wysokość graniastosłupa. \(\displaystyle{ \gamma}\) - szukany kąt
Mamy \(\displaystyle{ \alpha=\angle ACA'}\) i \(\displaystyle{ \beta=\angle BCB'}\), wiec \(\displaystyle{ AC = hctg\alpha}\) oraz \(\displaystyle{ BC = hctg\beta}\).
Więc \(\displaystyle{ BA^2 = h^2 (ctg^2\alpha + ctg^2\beta)}\)
Mamy też \(\displaystyle{ CA' = \frac{h}{sin\alpha}}\) oraz \(\displaystyle{ CB' = \frac{h}{sin\beta}}\)
Z tw. cosinusów: \(\displaystyle{ \frac{h^2}{sin^2\alpha} + \frac{h^2}{sin^2\beta} - 2cos\gamma \cdot \frac{h^2}{sin\alpha sin\beta} = h^2 (ctg^2\alpha + ctg^2\beta)}\)
Stąd \(\displaystyle{ \frac{1}{sin^2\alpha} + \frac{1}{sin^2\beta} - 2cos\gamma \cdot \frac{1}{sin\alpha sin\beta} = \frac{cos^2\alpha}{sin^2\alpha} + \frac{cos^2\beta}{sin^2\beta}}\)
Mnożymy stronami przez \(\displaystyle{ sin^2\alpha sin^2\beta}\)
\(\displaystyle{ sin^2\alpha + sin^2\beta - cos\gamma \cdot 2sin\alpha sin\beta = cos^2\alpha sin^2\beta + cos^2\beta sin^2\alpha}\)
\(\displaystyle{ -cos\gamma \cdot 2sin\alphasin\beta = sin^2\beta (cos^2\alpha - 1) + sin^2\alpha (cos^2\beta - 1)}\)
\(\displaystyle{ - cos\gamma \cdot 2 sin\alpha sin\beta = -2 sin^2\alpha sin^2\beta}\)
\(\displaystyle{ cos\gamma = sin\alpha sin\beta}\)
Mamy \(\displaystyle{ \alpha=\angle ACA'}\) i \(\displaystyle{ \beta=\angle BCB'}\), wiec \(\displaystyle{ AC = hctg\alpha}\) oraz \(\displaystyle{ BC = hctg\beta}\).
Więc \(\displaystyle{ BA^2 = h^2 (ctg^2\alpha + ctg^2\beta)}\)
Mamy też \(\displaystyle{ CA' = \frac{h}{sin\alpha}}\) oraz \(\displaystyle{ CB' = \frac{h}{sin\beta}}\)
Z tw. cosinusów: \(\displaystyle{ \frac{h^2}{sin^2\alpha} + \frac{h^2}{sin^2\beta} - 2cos\gamma \cdot \frac{h^2}{sin\alpha sin\beta} = h^2 (ctg^2\alpha + ctg^2\beta)}\)
Stąd \(\displaystyle{ \frac{1}{sin^2\alpha} + \frac{1}{sin^2\beta} - 2cos\gamma \cdot \frac{1}{sin\alpha sin\beta} = \frac{cos^2\alpha}{sin^2\alpha} + \frac{cos^2\beta}{sin^2\beta}}\)
Mnożymy stronami przez \(\displaystyle{ sin^2\alpha sin^2\beta}\)
\(\displaystyle{ sin^2\alpha + sin^2\beta - cos\gamma \cdot 2sin\alpha sin\beta = cos^2\alpha sin^2\beta + cos^2\beta sin^2\alpha}\)
\(\displaystyle{ -cos\gamma \cdot 2sin\alphasin\beta = sin^2\beta (cos^2\alpha - 1) + sin^2\alpha (cos^2\beta - 1)}\)
\(\displaystyle{ - cos\gamma \cdot 2 sin\alpha sin\beta = -2 sin^2\alpha sin^2\beta}\)
\(\displaystyle{ cos\gamma = sin\alpha sin\beta}\)