Graniastosłup z trapezem w podstawie

[naukaposzlawlas]

podstawą graniastoslupa jest trapez równoramienny o kącie ostrym \(\displaystyle{ \alpha}\) opisany na okręgu o promieniu \(\displaystyle{ r}\) objętość ostrosłupa jest równa \(\displaystyle{ V=16 r^{2}}\)
a)oblicz wysokość graniastosłupa.
b) wyznacz kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) jeśli wiadomo, że wysokość graniastosłupa jest równa \(\displaystyle{ 2r}\).

[marek230193]

a) ze wzoru na objętość graniastosłupa: \(\displaystyle{ H= \frac{V}{Pp}}\)
obliczamy pole podstawy:
okrąg jest wpisany więc \(\displaystyle{ h}\) trapezu to \(\displaystyle{ 2r}\)
trapez jest opisany na okręgu i równoramienny, więc: \(\displaystyle{ a+b=2c}\)
rozważając trójkąt prostokątny \(\displaystyle{ c,a-b,2r}\) otrzymujemy: \(\displaystyle{ c= \frac{2r}{\sin \alpha }}\)
więc: \(\displaystyle{ a+b= \frac{4r}{\sin \alpha }}\)

\(\displaystyle{ a+b}\) i \(\displaystyle{ 2r}\) podstawiamy do wzoru na pole:
\(\displaystyle{ Pp= \frac{\frac{4r}{\sin \alpha } \cdot 2r}{2}}\)
i w sumie gotowe

-- 6 sty 2012, o 20:41 --

b) z założenia, że \(\displaystyle{ H=2r}\) mamy: \(\displaystyle{ \frac{V}{ \frac{4r ^{2} }{\sin \alpha } }=2r}\)
po przekształceniu: \(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{8r ^{3} }{V}}\)