Największa objętość prostopadłościanu

[goralznizin]

Witam!

Z góry zakładam ze potrzebuje wskazówki do tego zadania. Nie za bardzo widzi mi się zeby ktoś zrobił je za mnie. Chcę się czegoś nauczyć

Zadanie
Zbadać, który z prostopadłościanów o podstawie kwadratowej i przekątnej o długości 10 cm, nachylonej do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze łukowej \(\displaystyle{ \alpha}\), ma największą objętość. Podać wymiary tego prostopadłościanu i obliczyć jego objętość.

Mój szkic rozwiązania.
Oznaczmy
\(\displaystyle{ d - przekatna \\
a - krawedz \ podstawy \\
H - wysokosc \ prostopadloscianu\\


\sin \alpha = \frac{H}{10} \\
\cos \alpha = \frac{a \sqrt{2}}{10} \\

H= 10 sin\alpha

a = \frac{10 \cos \alpha}{\sqrt {2}}\\

V = a^2 H = 500 \sin \alpha \cos^2 \alpha = 250 \sin 2\alpha \cos\alpha}\)

Mój pomysł na dalszą cześć tego zadania to było policzyć pochodną ale właściwie nic mi to nie dało. Wiem intuicyjnie ze \(\displaystyle{ \alpha = \frac{pi}{4}}\). Jakaś wskazówka??

[chris_f]

Dlaczego niby pochodna nic ci nie dała?
\(\displaystyle{ V'(\alpha)=(500\sin\alpha\cos^2\alpha)'=500(\cos^3\alpha-2\sin^2\alpha\cos\alpha)}\)
Przyrównujesz do zera
\(\displaystyle{ \cos^3\alpha-2\sin^2\alpha\cos\alpha=0}\)
\(\displaystyle{ \cos\alpha(\cos^2\alpha-2\sin^2\alpha)=0}\)
\(\displaystyle{ \cos\alpha=0\vee\cos^2\alpha-2\sin^2\alpha=0}\)
Pierwsze daje rozwiązanie \(\displaystyle{ \alpha=\frac{\pi}{2}}\), które oczywiście odrzucamy, a w drugim użyj jedynki trygonometrycznej i wylicz \(\displaystyle{ \alpha}\). Upewnij się też, że tam na pewno będzie maksimum.

PS. Intuicja chyba cię jednak zawiodła - to raczej nie będzie ten kąt.

[goralznizin]

No moze i faktycznie masz rację:) Doszedłem do tego wcześniej sam ale byłem przekonany ze bedzie to te 45 stopni. Jeszcze na wolframie narysowałem sobie wykres, ale jak teraz patrze tak krytycznie na niego to widze bład w rozumowaniu.

Wychodzi tam ze

\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{ \sqrt{3} }{3}}\) to opcja po odrzuceniu już tych wykluczonych załozeniami.