W ostrosłupie czworokątnym prawidlowym oblicz pole przekroju

[jaworr40042]

W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym o podstawie ABCD i wierzchołku S są dane wysokość \(\displaystyle{ h = 6 \sqrt{2}}\) oraz miara kąta ASB = \(\displaystyle{ 60^{o}}\). Oblicz pole przekroju ABKL, gdzie K jest środkiem krawędzi CS, zaś L środkiem krawędzi DS.

proszę niech ktoś poda rozwiązanie i przy okazji wytłumaczy co po kolei trzeba robić

[lukasz1804]

Przekrój \(\displaystyle{ ABKL}\) jest trapezem równoramiennym.
Niech \(\displaystyle{ a, b}\) oznaczają krawędź podstawy i krawędź boczną ostrosłupa odpowiednio.
Rozważmy trójkąt prostokątny o jednym wierzchołku w spodku \(\displaystyle{ O}\) wysokości \(\displaystyle{ h}\) i dwóch pozostałych wierzchołkach w punktach \(\displaystyle{ A, S}\).
Oczywiście mamy \(\displaystyle{ |AO|=\frac{a\sqrt{2}}{2}}\). Stąd i z twierdzenia Pitagorasa dostajemy \(\displaystyle{ \frac{a^2}{2}+h^2=b^2}\), tj. \(\displaystyle{ a^2+2h^2=2b^2}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ |\angle ASB|=60^o}\), to trójkąt równoramienny \(\displaystyle{ ABS}\) jest trójkątem równobocznym i wobec tego \(\displaystyle{ b=a}\). Stąd i z powyższego mamy \(\displaystyle{ a=b=h\sqrt{2}}\).

Ponadto oczywiście mamy \(\displaystyle{ |AB|=a}\), a ze wzoru na długość linii środkowej w trójkącie wynika też, że \(\displaystyle{ |KL|=\frac{a}{2}}\). Wystarczy zatem znaleźć długość wysokości w trapezie \(\displaystyle{ ABKL}\). Najpierw jednak warto wyznaczyć długość ramienia, np. boku \(\displaystyle{ BK}\). Zauważ, że jest on środkową w trójkącie równoramiennym \(\displaystyle{ BCS}\) poprowadzoną do ramienia \(\displaystyle{ CS}\). Co więcej, \(\displaystyle{ BCS}\) jest trójkątem równobocznym, gdyż \(\displaystyle{ a=b}\). Zatem \(\displaystyle{ BK}\) jest także wysokością w tym trójkącie i z odpowiedniego wzoru mamy \(\displaystyle{ |BK|=\frac{a\sqrt{3}}{2}}\).
Teraz z twierdzenia Pitagorasa łatwo dostajemy, że wysokość w trapezie \(\displaystyle{ ABKL}\) wynosi \(\displaystyle{ H=\sqrt{|BK|^2-\left(\frac{|AB|-|KL|}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{3}{2}a^2-\frac{1}{16}a^2}=\frac{a\sqrt{23}}{4}}\).

W konsekwencji pole prostokąta \(\displaystyle{ ABKL}\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{|AB|+|KL|}{2}H=\frac{3}{4}a\cdot\frac{a\sqrt{23}}{4}=\frac{3a^2\sqrt{23}}{16}}\).

[Pancernik]

Przekrój \(\displaystyle{ ABKL}\) jest prostokątem.

Czym jest?

Jak na mnie to jest trapez równoramienny.-- 13 gru 2011, o 11:30 --Ściana boczna jest trójkątem równobocznym.
Czyli wszystkie krawędzie niech będą równe \(\displaystyle{ a}\).
Przekątna podstawy jest przekątną kwadratu czyli \(\displaystyle{ a \sqrt{2}}\).
Z tw. Pitagorasa:
\(\displaystyle{ h^2 + \left( \frac{a \sqrt{2} }{2} \right)^2 =a^2\\
\left( 6 \sqrt{2} \right) ^2+ \left( \frac{a \sqrt{2} }{2} \right)^2 =a^2\\
72= \frac{a^2}{2}\\
a=12}\)

\(\displaystyle{ \left| KL\right|}\) obliczymy z tw. Talesa:
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{a}{2} }{\left| KL\right| } = \frac{a}{a} \\
\frac{ 6 }{\left| KL\right| } = \frac{12}{12} \\
\left| KL\right| = 6}\)

Teraz obliczymy wysokość trapezu:
\(\displaystyle{ \left| KB\right| = \frac{a \sqrt{3} }{2} =6\sqrt{3} \\
h_t^2+ \left( \frac{a-\left| KL\right|}{2}\right) ^2 =\left| KB\right|^2\\
h_t^2+ \left( \frac{6}{2}\right) ^2 =\left( 6\sqrt{3}\right)^2\\
h_t^2+ 9 =108\\
h_t=3 \sqrt{11}}\)

Pole trapezu \(\displaystyle{ ABKL}\):
\(\displaystyle{ P= \frac{a+\left| KL\right|}{2} \cdot h_t=\frac{18}{2} \cdot 3 \sqrt{11}=27 \sqrt{11}}\)