Oblicz objętość stożka..

[Luke9]

Trochę sobie nie radzę z tym zadankiem:

Oblicz objętość stożka, którego powierzchnia boczna po rozwinięciu jest wycinkiem koła o promieniu długości 6cm.
Rys:

[Lbubsazob]

Pokażę Ci na jednym przykładzie, dwa pozostałe spróbuj zrobić sam.

b) Mamy wycinek koła o promieniu długości 6 i kącie \(\displaystyle{ 120^\circ}\).
Zauważ, że promień tego koła jest jednocześnie tworzącą stożka, który powstanie po zwinięciu tego. Natomiast długość łuku, jaki stanowi wycinek koła, będzie obwodem podstawy. Musimy zatem znaleźć długość tego łuku. Obwód całego koła to \(\displaystyle{ 2\pi \cdot 6=12\pi}\), a wycinek koła o kącie \(\displaystyle{ 120^\circ}\) stanowi \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) koła, które ma kąt \(\displaystyle{ 360^\circ}\) (bo \(\displaystyle{ \frac{120}{360}=\frac{1}{3}}\)). W takim razie \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) obwodu koła to \(\displaystyle{ 4\pi}\). Wiemy, że \(\displaystyle{ 4\pi}\) to obwód mniejszego koła, jakim jest podstawa stożka.
\(\displaystyle{ 2\pi r=4\pi \Rightarrow r=2}\) gdzie \(\displaystyle{ r}\) jest promieniem podstawy stożka

[anna_]

\(\displaystyle{ R}\) - promień podstawy stożka
\(\displaystyle{ r}\) - promień wycinka koła (tworząca stożka)

Obwód podstawy stożka:
\(\displaystyle{ Ob=\frac{90^o}{360^o}2 \pi r = \frac{1}{4} \cdot 2 \pi \cdot 6= 3\pi}\)

Promień podstawy:
\(\displaystyle{ 2\pi R=3 \pi\\
R= \frac{3}{2}}\)

Wysokość stożka
\(\displaystyle{ H^2=r^2-R^2}\)
\(\displaystyle{ H^2=6^2-(\frac{3}{2})^2}\)
\(\displaystyle{ H= \frac{3 \sqrt{15} }{2}}\)

Objętość ze wzoru