Objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego.

[dawid.barracuda]

Witam. Rozwiązywałem zadanie z rozszerzonej matury, z próby z tego roku:
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym długość krawędzi podstawy jest równa\(\displaystyle{ 2a}\). Miara kąta między przekątną podstawy, a przekątną ściany bocznej wychodzącą z tego samego wierzchołka jest równa \(\displaystyle{ \alpha}\). Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Rozwiązałem to trochę na około porównując z kluczem odpowiedzi (skorzystałem z innych funkcji, przez co mam trochę bardziej rozbudowany wynik.) Moje rozwiązanie:
1. Od razu wiem, że przekątna podstawy wynosi \(\displaystyle{ 2a \sqrt{2}}\).
2. Liczę przekątną ściany bocznej:

\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{a \sqrt{2} }{b} \Rightarrow b = \frac{a \sqrt{2} }{cos \alpha}}\)

3. Liczę wysokość graniastosłupa z tw. Pitagorasa:

\(\displaystyle{ H^2 = \left( \frac{a \sqrt{2} }{cos \alpha } \right)^2 - 4a^2}\)

\(\displaystyle{ H = a \sqrt{2} \sqrt{ \frac{1-2cos^2 \alpha }{cos^2 \alpha } }}\)

4. Liczę objętość:

\(\displaystyle{ V = PpH = a^3 \cdot 4 \sqrt{2} \cdot \sqrt{ \frac{1-2cos^2 \alpha }{cos^2 \alpha } }}\)

\(\displaystyle{ V = \sqrt{ \frac{32a^6(1-2cos^2 \alpha )}{cos^2 \alpha } }}\)

Wartość liczbowa jest taka sama, jak w przypadku wzoru z klucza. Czy dostałbym za to zadanie max. liczbę pktów? Proszę o odpowiedź i pozdrawiam.

[Gadziu]

Myślę, że tak:) Na szczęście matematyka jest tak pięknym przedmiotem, że mnogość rozwiązań jest naprawdę ogromna. Po maturze dużo bardzo egzaminatorów z całego kraju zbiera się w jednym miejscu i do każdego zadania wymyślają przeróżne sposoby rozwiązań, ale i tak znajdzie się zawsze ktoś, kto zrobi to jeszcze inaczej, ale poprawnie matematycznie i z prawidłowym wynikiem i tez dostaje maksa. Więc nie musisz się martwić, że nie masz tak samo jak jest w kluczy. To nie głupi polski...