Wykazać że

[Alonzo]

Niech \(\displaystyle{ V}\) oznacza objętość a \(\displaystyle{ P}\) pole całkowite prostopadłościanu. Wykazać że \(\displaystyle{ P^{3} \ge 216V^{2}}\) oraz równość zachodzi tylko dla sześcianu.

Nie wiem jak się zabrać za to zadanie.

[alfgordon]

rozpisz sobie co to jest \(\displaystyle{ V,P}\) i skorzystaj z nierówności pomiędzy średnią arytmetyczną a geometryczną

[kamil13151]

Po podstawieniu wzorów dostajemy:
\(\displaystyle{ \left[ 2(ab+bc+ac) \right] ^3 \ge 216(abc)^2 \\ (ab+bc+ac)^3 \ge 27(abc)^2}\)

Z nierówności pomiędzy średnimi mamy:
\(\displaystyle{ \frac{ab+bc+ac}{3} \ge \sqrt[3]{a^2b^2c^2}}\)
Mnożąc trzy takie nierówności dostajemy tezę, z własności średnich wiemy, że równość zajdzie tylko dla \(\displaystyle{ a=b=c}\), także będzie to sześcian.

[Alonzo]

Jakto trzy nierówności?

[kamil13151]

No bo musimy po lewej uzyskać do potęgi trzeciej, więc wymnażamy trzy razy i się zgadza

[Alonzo]

\(\displaystyle{ \frac{ab+bc+ac}{3} \ge \sqrt[3]{a^2b^2c^2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{(ab+bc+ac)^{3} }{27} \ge a^{2} b^{2} c^{2}}\)
O to chodzi?
I teraz wzór skr mnożenia i będzie git?

[kamil13151]

Pomnóż przez 216 obustronnie i masz tezę.

Po co wzór skróconego tam?

[Alonzo]

Ale jeśli pomnoże obu stronnie przez 216 to będę miał \(\displaystyle{ 8(ab+bc+ac)^{3} \ge 216(abc)^{2}}\)
Czyli lewa się nie zgodzi.

[kamil13151]

Czyżby? Pomyśl... \(\displaystyle{ 2^3=8}\) .

[Alonzo]

No tak zapomniałem że 8 w moim równaniu jest po za nawiasem. Już ogarniam. Dziękuję za pomoc.