Ostrosłup prawidłowy trójkątny

[jacca2]

Nie rozumiem tego zadania,i no nie za bardzo wiem jak je rozwiązać.

Oblicz objętość i pole powierzchni ostrosłupa prawidłowego trójkątnego w którym krawędź podstawy wynosi 4,a kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy wynosi 60 stopni.

ps.
Głupei pytanie(ale któ pyta nie błądzi)w graniastosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna równa jest wysokości H ??

[bartholdy]

Narysuj ostrosłup i skorzystaj skorzystaj z tego, że na posdstawie, odległość krawędzi podstawy od punktu na który opuszczona jest wysokość ostrosłupa jest \(\displaystyle{ \frac{1}{3}h}\), gdzie \(\displaystyle{ h}\) to wysokość trójkąta w podstawie, a ponieważ jest to trójkąt równoboczny odcinek ten równy jest \(\displaystyle{ \frac{1}{3}h = \frac{a\sqrt{3}}{6}}\). Dalej sobie poradzisz korzystając z funkcji trygonometrycznych.

Głupei pytanie(ale któ pyta nie błądzi)w graniastosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna równa jest wysokości H ??

W graniastosłupie owszem.

[jacca2]

Pozwoliłem sobie skontruować to zadanie i stanąłem w tym miejscu(link nw),co trzeba podstawić pod te 1/3 hp??
... 3ef2a.html

[bartholdy]

\(\displaystyle{ a}\) czyli długość boku podstawy, to jest \(\displaystyle{ a = 4}\).
\(\displaystyle{ \frac{H}{\frac{4\sqrt{3}}{6}} = \tan 60^\circ\\
H = \sqrt{3}\cdot\frac{2\sqrt{3}}{3}\\
H = 2}\)

[jacca2]

Czyli podsumuwując
\(\displaystyle{ hp=\frac{1}{3} x \frac{a\sqrt{3}}{2}= \frac{a\sqrt{3}}{6} ??}\).
Tylko tego jeszcze nie rozumie
\(\displaystyle{ H = \sqrt{3}\cdot\frac{2\sqrt{3}}{3}}\)
Wiem że \(\displaystyle{ tg60=\sqrt{3}}\) ale dlaczego poźniej \(\displaystyle{ \frac{2\sqrt{3}}{3} a nie \frac{4\sqrt{3}}{6}}\)??

[bartholdy]

Rozumiem, że \(\displaystyle{ h_p}\) to jest wysokość podstawy?
Wysokość podstawy w trójkącie równobocznym jest \(\displaystyle{ \frac{a\sqrt{3}}{2}}\), co można łatwo wyprowadzić z Tw. Pitagorasa.
\(\displaystyle{ h_p^2 = a^2 - (\frac{a}{2})^2\\
h_p = \frac{a\sqrt{3}}{2}}\).



W trójkącie równobocznym symetralne dzielą się w stosunk \(\displaystyle{ 1:2}\).
Jest to jednocześnie środek okręgu wpisanego.

[jacca2]

To ja rozumiem,tylko jak to powinno byc dalej (tzn.rozwiązanie)bo już mi się wszystko pomyliło

[bartholdy]

\(\displaystyle{ \frac{4\sqrt 3}{6}}\) jest równe \(\displaystyle{ \frac{2\sqrt 3}{3}}\) - pozwoliłem sobie skrócić.

Niech \(\displaystyle{ l}\) będzie wysokością ściany bocznej.
\(\displaystyle{ V = \frac{1}{3} 2\sqrt{3} 2 = \frac{4\sqrt{3}}{3}\\
\sin 60 = \frac{2}{l},\quad l = \frac{4\sqrt{3}}{3}\\
P_c = 3\cdot\frac{1}{2}\cdot4\cdot\frac{4\sqrt{3}}{3} + \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = 12\sqrt{3}}\)

[jacca2]

\(\displaystyle{ \frac{4\sqrt 3}{6}}\) jest równe \(\displaystyle{ \frac{2\sqrt 3}{3}}\) - pozwoliłem sobie skrócić.
[/latex]

A dlaczego
\(\displaystyle{ \frac{4\sqrt 3}{6}}\) przecież hp=\(\displaystyle{ \frac{a\sqrt 3}{2}}\) to powinno być
\(\displaystyle{ \frac{4\sqrt 3}{2}}\) ??
Sory że tak męcze,ale chce pojąc to zadanie a jak narazie chyba bariera mózgowa na to mi nie pozwala

[bartholdy]

Tak, \(\displaystyle{ h_p = \frac{4\sqrt{3}}{2}}\), ale trójkąt razem z wysokością \(\displaystyle{ H}\) i przeciwległą, tworzy \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) tej wysokości, czyli \(\displaystyle{ \frac{4\sqrt{3}}{6}}\). Mamy \(\displaystyle{ \tan 60 = \frac{H}{\frac{1}{3}h_p}}\), a nie \(\displaystyle{ \tan 60 = \frac{H}{h_p}}\).
Mam nadzieje, że teraz jasne bo trochę zamieszania się zrobiło ; )

[jacca2]

\(\displaystyle{ \frac{4\sqrt 3}{6}}\) jest równe \(\displaystyle{ \frac{2\sqrt 3}{3}}\) - pozwoliłem sobie skrócić.

Niech \(\displaystyle{ l}\) będzie wysokością ściany bocznej.
\(\displaystyle{ V = \frac{1}{3} 2\sqrt{3} 2 = \frac{4\sqrt{3}}{3}\\
\sin 60 = \frac{2}{l},\quad l = \frac{4\sqrt{3}}{3}\\
P_c = 3\cdot\frac{1}{2}\cdot4\cdot\frac{4\sqrt{3}}{3} + \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = 12\sqrt{3}}\)

Już zaczynam pomału rozumieć,ale to nie wszystko
wysokość sciany bocznej obliczyłeś \(\displaystyle{ \sin60=\frac{2}{l}}\) to wygląda mniej więcej tak
\(\displaystyle{ \sin60=\sqrt{3}= \frac{2}{l}}\) to po wyliczeniu wychodzi że wysokość ściany bocznej
\(\displaystyle{ l=2\sqrt{3}}\) to dlaczego \(\displaystyle{ \quad l = \frac{4\sqrt{3}}{3}\\}\)??