Objętość bryły na podstawie figury płaskiej

[RippeR37]

Hej,

A więc załóżmy, że mamy coś takiego:


Mamy trojkąt prostokątny o bokach 6 i 8 (przeciwprostokątna 10, wysokość opuszczona na nią to \(\displaystyle{ \frac{24}{5}}\) ). Obracamy teraz ten trójkąt wokół prostej równoległej do przeciwprostokątnej przechodzącej przez wierzchołek z kątem prostym - tak jak na rysunku. Teraz można się bawić i liczyć V a potem od tego odjąć objętość dwóch stożków (lub jednego o wysokości równej sumie tamtych 2). Zależy mi jednak na prostszym rozwiązaniu, a w sumie może bardziej uniwersalnym. Wpadłem na to, iż można by obliczyć pole trójkąta i pomnożyć przez obwód koła równy obwodowi podstawy (ten sam promień zakreślą). Niestety otrzymany wynik z tego mnożenia to nie objętość bryły stworzonej przez trójkąt a objętość walca! (dziwne)

Otrzymałem takie dane:
\(\displaystyle{ \frac{1152}{5}}\) - objętość walca
\(\displaystyle{ \frac{768}{5}}\) - objętość bryły stworzonej przez obrót trójkąta
\(\displaystyle{ \frac{384}{5}}\) - objętość dwóch stożków/1 stożka o tym samym promieniu i wysokości równej sumie wysokości dwóch stożków.
Zauważyłem, że wielkości te są jak 3:2:1 (tzn. walec to całość, bryła to \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) walca, a stożki to \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\).

Czy te wielkości zawsze są w takich samych proporcjach? Wydaje mi się że tak co wynika z wzorów. Ale jak sprawa ma się z np. 5-kątami. Czy tam też można policzyć pole figury, pomnożyć przez obwód koła jaki uzyskamy z obrotu tej figury i potem odpowiednio proporcjami uzyskać ostateczny wynik? (ew. obliczyć pole walca i z odpowiedniej proporcji od razu?).

[kropka+]

Przy tych danych wysokość trójkąta opuszczonego na podstawę nie może się równać \(\displaystyle{ \frac{24}{5}}\), bo z objętości wychodzi inny promień walca.

[RippeR37]

Trójkąt ma wymiary 6x8x10 (pitagorejski). Pole to 24, a więc wysokość opuszczona na przeciwprostokątną (10) to 4,8 (\(\displaystyle{ \frac{4,8 * 10}{2} = 24}\)). Ta wysokość (nie zaznacozna na rysunku) to promień.

Owszem zapomniałem dodać \(\displaystyle{ \pi}\) do każdej liczby, ale opróćz tego dalej jest dobrze:

\(\displaystyle{ V = \frac{1}{3} * \pi * \frac{576}{25} * 10 = \frac{1152}{5} \pi}\)

Tak czy siak nie było to sednem pytania. Pytanie to - czy mogę obliczyć pole bryły, która powstała z obrotu jakiejś figury płaskiej mając pole ów figury płaskiej (oczywiście tylko do osi obrotu, jeśli ta przechodzi przez figurę trzeba ów figurę obciąć bo będzie się nakładać) mogę jakoś obliczyć np. mnożąc to przez obwód podstawy walca, do którego można wpisać tą bryłę (tzn. obwód największego koła, które powstało w tej bryle w przekroju poprzecznym).

[kropka+]

Owszem zapomniałem dodać \(\displaystyle{ \pi}\) do każdej liczby, ale opróćz tego dalej jest dobrze:

\(\displaystyle{ V = \frac{1}{3} * \pi * \frac{576}{25} * 10 = \frac{1152}{5} \pi}\)

To nie jest wzór na objętość walca tylko stożka.

[RippeR37]

@kropka+ sorry byłem zajęty i przez przypadek dodałem tą \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\), wynik jest dalej dla walca tylko tej 1/3 nie powinno być wcześniej

Tak czy siak to tylko był przykład. Pytanie - czy można obliczyć objętość i Ppc bryły powstałej z obrotu dowolnej figury płaskiej mając np. tylko jej pole (nie licząc w stylu: objętość walca, potem odejmujemy od niego objętości mniejszych brył, jakby wycinamy z walca naszą bryłę)?

Dla walca i stożka/stozków o łącznej takiej samej wysokości to jest to stosunek 3:1 co wynika z wzoru. Ale dla np. 5cio-kąta lub dowolnej innej figury? :>

[kropka+]

Zauważyłem, że wielkości te są jak 3:2:1 (tzn. walec to całość, bryła to \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) walca, a stożki to \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\).

Czy te wielkości zawsze są w takich samych proporcjach? Wydaje mi się że tak co wynika z wzorów. Ale jak sprawa ma się z np. 5-kątami. Czy tam też można policzyć pole figury, pomnożyć przez obwód koła jaki uzyskamy z obrotu tej figury i potem odpowiednio proporcjami uzyskać ostateczny wynik? (ew. obliczyć pole walca i z odpowiedniej proporcji od razu?).

W przypadku dowolego trójkąta, będzie tak jak zauważyłeś, czyli

\(\displaystyle{ V _{bryly}= \frac{4}{3} \pi h P _{trojkata}}\)

i można to wyprowadzić analitycznie.

Natomiast w przypadku innych figur obracanych wokół wierzchołka obliczenia są znacznie bardziej skomplikowane (stosuje się tu rachunek całkowy). Takich zadań jest dużo na tym forum, np. tutaj

https://www.matematyka.pl/250771.htm

Spróbuj obliczyć np. objętość bryły powstałej przez obrót kwadratu o boku 2 wokół wierzchołka. Zobaczysz, że od objętości walca trzebaby odjąć objętości dwóch jednakowych stożków i dwóch "obręczy".
Zobacz, czy będzie jakaś proporcja objętości bryły do pola kwadratu.
Reasumując, jeśli uda Ci się wyprowadzić jakiś wzór analitycznie, to możesz go stosować, ale nie ma żadnych reguł, że tak jest zawsze.

[RippeR37]

Hmm i o taką odpowiedź mi chodziło.

No cóż, widzę że to wyższa matematyka jak na moją wiedzę (LO) więc chyba dam sobie spokój na razie z tym

Dzięki za pomoc :]