Witam.
Mam zbiornik w kształcie kuli. W zbiorniku znajduje się ciecz. Wiem, że ciecz zajmuje 20% objętości kuli. Moje pytanie to: gdzie znajduję się środek ciężkości tego wycinka?
środek ciężkości fragmentu kuli
środek ciężkości fragmentu kuli
\(\displaystyle{ S = (0; \ 0; \ z _{S})}\)
Dla środka kuli \(\displaystyle{ S _{0} = (0; \ 0; \ 0)}\) mamy \(\displaystyle{ z _{S} < 0}\).
\(\displaystyle{ z _{S} = \frac{\iiint\limits_{U}^{} z \cdot \varrho\left( x, y, z\right) dxdydz }{\iiint\limits_{U}^{} \varrho\left( x, y, z\right) dxdydz } = \frac{\varrho \cdot \iiint\limits_{U}^{} z \cdot dxdydz }{\varrho \cdot \iiint\limits_{U}^{} dxdydz } = \frac{\iiint\limits_{U}^{} z \cdot dxdydz }{ V _{c}}}\)
Zastosuj współrzędne walcowe:
\(\displaystyle{ U = \begin{cases} 0 \le r \le R _{0} \\ \\ 0 \le \varphi \le 2 \pi \\ \\ - \sqrt{R ^{2} - r ^{2}} \le - \left( R - h\right) \\ \\ dxdydz = r dr d \varphi dz \end{cases}}\)
Ponieważ ciecz tworzy bryłę będącą różnicą między wycinkiem kuli o wysokości czaszy h a stożkiem o wysokości \(\displaystyle{ h _{s} = R - h}\) i promieniu podstawy \(\displaystyle{ R _{0}}\), dlatego objętość cieczy zapiszemy jako:
\(\displaystyle{ \begin{cases} (1) \ V _{c} = V _{w} - V _{s} = \frac{2}{3} \pi R ^{2}h - \frac{1}{3} \pi R _{0} ^{2}h \\ \\ (2) \ V _{c} = 20 \% \cdot \frac{4}{3} \pi R ^{3} \end{cases}}\)
Zanim wyznaczymy h, musimy znaleźć promień \(\displaystyle{ R _{0}}\) koła będącego rzutem prostokątnym bryły U na płaszczyznę xOy (czyli z = 0):
\(\displaystyle{ \begin{cases} (3) \ x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} = R ^{2} \\ \\ (4) \ z = - \left( R - h\right) \end{cases} \ \ \ \Rightarrow \ \ \ x ^{2} + y ^{2} = 2Rh - h ^{2}}\)
\(\displaystyle{ R _{0} ^{2} = 2Rh - h ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{2}{3} \pi R ^{2}h - \frac{1}{3} \pi R _{0} ^{2}h = 20 \% \cdot \frac{4}{3} \pi R ^{3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{2}{3} \pi R ^{2}h - \frac{2}{3} \pi R h ^{2} + \frac{1}{3} \pi h ^{3} = \frac{4}{15} \pi R ^{3}}\)
Trudno z tego równania wyznaczyć h, bo to wielomian trzeciego stopnia pełen Można jeszcze szukać środka geometrycznego figury powstałej przez odjęcie od wycinka koła o promieniu R trójkata równobocznego o podstawie \(\displaystyle{ R _{0}}\) i ramionach o długości R (taki jest przekrój bryły U powstały przez rozcięcie jej płaszczyzną xOz lub yOz wzdłuż osi Oz) - może to będzie łatwiejsze rachunkowo.
Porachowałem na kartce i na razie zamieszczam końcowy wynik:
\(\displaystyle{ z _{S} = - \frac{15}{16} \cdot \left(\frac{R _{0}}{R}\right)^{3} \cdot R _{0}}\)
gdzie
\(\displaystyle{ R _{0}\left( h\right) = \sqrt{2Rh - h ^{2}}}\)
Dla środka kuli \(\displaystyle{ S _{0} = (0; \ 0; \ 0)}\) mamy \(\displaystyle{ z _{S} < 0}\).
\(\displaystyle{ z _{S} = \frac{\iiint\limits_{U}^{} z \cdot \varrho\left( x, y, z\right) dxdydz }{\iiint\limits_{U}^{} \varrho\left( x, y, z\right) dxdydz } = \frac{\varrho \cdot \iiint\limits_{U}^{} z \cdot dxdydz }{\varrho \cdot \iiint\limits_{U}^{} dxdydz } = \frac{\iiint\limits_{U}^{} z \cdot dxdydz }{ V _{c}}}\)
Zastosuj współrzędne walcowe:
\(\displaystyle{ U = \begin{cases} 0 \le r \le R _{0} \\ \\ 0 \le \varphi \le 2 \pi \\ \\ - \sqrt{R ^{2} - r ^{2}} \le - \left( R - h\right) \\ \\ dxdydz = r dr d \varphi dz \end{cases}}\)
Ponieważ ciecz tworzy bryłę będącą różnicą między wycinkiem kuli o wysokości czaszy h a stożkiem o wysokości \(\displaystyle{ h _{s} = R - h}\) i promieniu podstawy \(\displaystyle{ R _{0}}\), dlatego objętość cieczy zapiszemy jako:
\(\displaystyle{ \begin{cases} (1) \ V _{c} = V _{w} - V _{s} = \frac{2}{3} \pi R ^{2}h - \frac{1}{3} \pi R _{0} ^{2}h \\ \\ (2) \ V _{c} = 20 \% \cdot \frac{4}{3} \pi R ^{3} \end{cases}}\)
Zanim wyznaczymy h, musimy znaleźć promień \(\displaystyle{ R _{0}}\) koła będącego rzutem prostokątnym bryły U na płaszczyznę xOy (czyli z = 0):
\(\displaystyle{ \begin{cases} (3) \ x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} = R ^{2} \\ \\ (4) \ z = - \left( R - h\right) \end{cases} \ \ \ \Rightarrow \ \ \ x ^{2} + y ^{2} = 2Rh - h ^{2}}\)
\(\displaystyle{ R _{0} ^{2} = 2Rh - h ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{2}{3} \pi R ^{2}h - \frac{1}{3} \pi R _{0} ^{2}h = 20 \% \cdot \frac{4}{3} \pi R ^{3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{2}{3} \pi R ^{2}h - \frac{2}{3} \pi R h ^{2} + \frac{1}{3} \pi h ^{3} = \frac{4}{15} \pi R ^{3}}\)
Trudno z tego równania wyznaczyć h, bo to wielomian trzeciego stopnia pełen Można jeszcze szukać środka geometrycznego figury powstałej przez odjęcie od wycinka koła o promieniu R trójkata równobocznego o podstawie \(\displaystyle{ R _{0}}\) i ramionach o długości R (taki jest przekrój bryły U powstały przez rozcięcie jej płaszczyzną xOz lub yOz wzdłuż osi Oz) - może to będzie łatwiejsze rachunkowo.
Porachowałem na kartce i na razie zamieszczam końcowy wynik:
\(\displaystyle{ z _{S} = - \frac{15}{16} \cdot \left(\frac{R _{0}}{R}\right)^{3} \cdot R _{0}}\)
gdzie
\(\displaystyle{ R _{0}\left( h\right) = \sqrt{2Rh - h ^{2}}}\)
środek ciężkości fragmentu kuli
Witam,
Tak sobie myślę czy nie ma błędu w założeniu (1) tzn.:
\(\displaystyle{ \frac{2}{3} \pi R ^{2}h}\) gdzie h to docinek R "pod" stożkiem,
natomiast,
\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \pi R _{0} ^{2}h}\) to wysokość stożka, dalej jest traktowana jako ta sama zmienna
czy końcowy wzór to wyprowadzenie "h" z \(\displaystyle{ \frac{2}{3} \pi R ^{2}h - \frac{2}{3} \pi R h ^{2} + \frac{1}{3} \pi h ^{3} = \frac{4}{15} \pi R ^{3}}\)?
Tak sobie myślę czy nie ma błędu w założeniu (1) tzn.:
\(\displaystyle{ \frac{2}{3} \pi R ^{2}h}\) gdzie h to docinek R "pod" stożkiem,
natomiast,
\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \pi R _{0} ^{2}h}\) to wysokość stożka, dalej jest traktowana jako ta sama zmienna
czy końcowy wzór to wyprowadzenie "h" z \(\displaystyle{ \frac{2}{3} \pi R ^{2}h - \frac{2}{3} \pi R h ^{2} + \frac{1}{3} \pi h ^{3} = \frac{4}{15} \pi R ^{3}}\)?