W ostrosłupie prawidlowym trójkątnym ściany boczne są nachylone do podstawy pod kątem alfa. Wysokość ostrosłupa jest równa H. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa.
Bardzo prosze o pomoc:(
obliczanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa
-
nikodem92
- Użytkownik
- Posty: 121
- Rejestracja: 21 paź 2010, o 20:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poland
- Podziękował: 18 razy
obliczanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa
W podstawie jest trójkąt równoboczny, więc niech \(\displaystyle{ h}\) - wysokość podstawy. \(\displaystyle{ h= \frac{a \sqrt{3}}{2}}\) (gdzie \(\displaystyle{ a}\) - długość boku podstawy).
Wiemy, że w ostrosłupie prawidłowym trójkątnym jego wysokość (u nas \(\displaystyle{ H}\)) dzieli wysokość podstawy (\(\displaystyle{ h}\)) w stosunku \(\displaystyle{ 2:1}\). Krótszą cześć podzielonej podstawy oznaczmy przez \(\displaystyle{ x}\). Wówczas \(\displaystyle{ x=\frac{1}{3} \cdot h = \frac{a \sqrt{3}}{6}}\). Z funkcji trygonometrycznych możemy policzyć sobie teraz \(\displaystyle{ x}\), a następnie \(\displaystyle{ a}\). Więc \(\displaystyle{ \tg(\alpha )= \frac{H}{x}}\). Podstawiając \(\displaystyle{ x}\), przekształcając powinno wyjść (prawdopodobnie o ile nie zrobiłem błędu w obliczeniach) \(\displaystyle{ a= \frac{6H}{\sqrt{3} \tg(\alpha )}}\). Mając \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ H}\) możemy już łatwo policzyć objętość.
Do policzenia pola powierzchni, jest jeszcze potrzebna wysokość ściany bocznej, niech to będzie \(\displaystyle{ y}\). Również z funkcji trygonometrycznych: \(\displaystyle{ y=\frac{H}{\sin(\alpha )}}\).
Podstawić do wzoru i gotowe!
Wiemy, że w ostrosłupie prawidłowym trójkątnym jego wysokość (u nas \(\displaystyle{ H}\)) dzieli wysokość podstawy (\(\displaystyle{ h}\)) w stosunku \(\displaystyle{ 2:1}\). Krótszą cześć podzielonej podstawy oznaczmy przez \(\displaystyle{ x}\). Wówczas \(\displaystyle{ x=\frac{1}{3} \cdot h = \frac{a \sqrt{3}}{6}}\). Z funkcji trygonometrycznych możemy policzyć sobie teraz \(\displaystyle{ x}\), a następnie \(\displaystyle{ a}\). Więc \(\displaystyle{ \tg(\alpha )= \frac{H}{x}}\). Podstawiając \(\displaystyle{ x}\), przekształcając powinno wyjść (prawdopodobnie o ile nie zrobiłem błędu w obliczeniach) \(\displaystyle{ a= \frac{6H}{\sqrt{3} \tg(\alpha )}}\). Mając \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ H}\) możemy już łatwo policzyć objętość.
Do policzenia pola powierzchni, jest jeszcze potrzebna wysokość ściany bocznej, niech to będzie \(\displaystyle{ y}\). Również z funkcji trygonometrycznych: \(\displaystyle{ y=\frac{H}{\sin(\alpha )}}\).
Podstawić do wzoru i gotowe!