Prostokąt o wymiarach 5 i 12 zgięto wzdłuż przekątnej..

[TokaKoka]

Prostokąt o wymiarach 5 i 12 zgięto wzdłuż przekątnej tak, że płaszczyzny zawierające obie części prostokąta są prostopadłe. Po zgięciu wierzchołki prostokąta wyznaczają czworościan. Oblicz objętość tego czworościanu oraz pole powierzchni kuli opisanej na tym czworościanie.

[bartholdy]

Przekątną prostokąta obliczmy z Tw. Pitagorasa \(\displaystyle{ d^2 = 5^2+12^2, \quad d = 13}\).
Wysokość ostrosłupa obliczmy porównując pola.
\(\displaystyle{ P_p = \frac{1}{2}\cdot 12\cdot 5 = 30}\) ale również, \(\displaystyle{ P_p = \frac{1}{2}\cdot 13\cdot H}\), stąd \(\displaystyle{ H = \frac{60}{13}}\)

Mamy wszystkie potrzebne dane do policzenia objętości \(\displaystyle{ V = \frac{1}{3}P_p H = \frac{600}{13}}\).


Promień \(\displaystyle{ R}\) kuli to połowa przeciwprostokątnej trójkąta podstawy i ściany bocznej (ponieważ są to trójkąty prostokątne, więc leżą na średnicy).
Stąd \(\displaystyle{ R^2 = \frac{169}{4}}\)
Wyliczmy pole powierzchni kuli.
\(\displaystyle{ P_k = 4\pi R^2 = 169\pi}\)

[TokaKoka]

Hmm, odpowiedzi mam takie : \(\displaystyle{ Vc = \frac{600}{13}, Pk = 169 \Pi}\)

[bartholdy]

Dałem się złudzeniu i źle "zgiąłem" krawędzie, teraz jest dobrze.
Pozdrawiam!

[TokaKoka]

Dzieki wielkie, nie tylko Ty dałeś się złudzeniu.