Wysokość ściany bocznej trójkątnego ostrosłupa prawidłowego ma długość h, a wysokość ostrosłupa jest równa H. Oblicz objętość ostrosłupa.
Odpowiedź powinna wyjść \(\displaystyle{ V=(h^{2} - H^2)H\sqrt{3}}\), ale nie wiem jak do tego dojść.
Ostrosłup z podanymi dwoma wysokościami
-
bartholdy
- Użytkownik
- Posty: 158
- Rejestracja: 14 gru 2006, o 19:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 49 razy
Ostrosłup z podanymi dwoma wysokościami
Podstawa to trójkąt równoboczny, odległość punktu na który opuszczona jest wysokość ostrosłupa od krawędzi podstawy jest \(\displaystyle{ \frac{1}{3} \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}}\).
\(\displaystyle{ H}\), \(\displaystyle{ h}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{a\sqrt{3}}{6}}\) tworzą trójkąt prostokątny.
Z Tw. Pitagorasa
\(\displaystyle{ h^2 = H^2 + \frac{a^2}{12} \quad\Rightarrow\quad a = 12(h^2-H^2)\\
P_p = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3}(h^2-H^2)\\
V = \frac{1}{3}P_p H = (h^2-H^2)\cdot H\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ H}\), \(\displaystyle{ h}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{a\sqrt{3}}{6}}\) tworzą trójkąt prostokątny.
Z Tw. Pitagorasa
\(\displaystyle{ h^2 = H^2 + \frac{a^2}{12} \quad\Rightarrow\quad a = 12(h^2-H^2)\\
P_p = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3}(h^2-H^2)\\
V = \frac{1}{3}P_p H = (h^2-H^2)\cdot H\sqrt{3}}\)