Kula w stożku
-
WRuBeL01
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 8 lis 2011, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tomaszów Maz.
- Podziękował: 2 razy
Kula w stożku
W stożek o promieniu r cm i wysokości h cm wpisano kulę o promieniu 8cm. Udowodnij, że \(\displaystyle{ r ^{2}}\) = \(\displaystyle{ \frac{64h}{h - 16}}\) .
-
Lbubsazob
- Użytkownik
- Posty: 4672
- Rejestracja: 17 maja 2009, o 13:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 124 razy
- Pomógł: 978 razy
Kula w stożku
Korzystam ze wzoru \(\displaystyle{ R= \frac{2P}{a+b+c}}\).
U nas \(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} \cdot 2r \cdot h=rh}\), a obwód wynosi \(\displaystyle{ 2r+2 \sqrt{r^2+h^2}}\) (ostatni bok mam z Pitagorasa). Podstawiając do wzoru:
\(\displaystyle{ 8=\frac{2rh}{2r+2 \sqrt{r^2+h^2}} \\
16r+16\sqrt{r^2+h^2}=2rh \\
16\sqrt{r^2+h^2}=2rh-16r}\)
Wszystkie zmienne są dodatnie, więc można podnieść do kwadratu obustronnie:
\(\displaystyle{ 256\left( r^2+h^2\right)=4r^2h^2+256r^2-64r^2h \\
256h^2=4r^2h^2-64r^2h \\
256h^2=r^2\left( 4h^2-64h\right) \\
r^2= \frac{256h^2}{4h^2-64h}= \frac{4h \cdot 64h}{4h\left( h-16\right) } = \frac{64h}{h-16}}\)
U nas \(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} \cdot 2r \cdot h=rh}\), a obwód wynosi \(\displaystyle{ 2r+2 \sqrt{r^2+h^2}}\) (ostatni bok mam z Pitagorasa). Podstawiając do wzoru:
\(\displaystyle{ 8=\frac{2rh}{2r+2 \sqrt{r^2+h^2}} \\
16r+16\sqrt{r^2+h^2}=2rh \\
16\sqrt{r^2+h^2}=2rh-16r}\)
Wszystkie zmienne są dodatnie, więc można podnieść do kwadratu obustronnie:
\(\displaystyle{ 256\left( r^2+h^2\right)=4r^2h^2+256r^2-64r^2h \\
256h^2=4r^2h^2-64r^2h \\
256h^2=r^2\left( 4h^2-64h\right) \\
r^2= \frac{256h^2}{4h^2-64h}= \frac{4h \cdot 64h}{4h\left( h-16\right) } = \frac{64h}{h-16}}\)