Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 72√3 cm�, a jego wysokość wynosi 2cm. Oblicz miarę kąta nachylenia ściany bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy.
proszę o pomoc w rozwiązaniu
ostrosłup prawidłowy trójkątny
-
bartholdy
- Użytkownik
- Posty: 158
- Rejestracja: 14 gru 2006, o 19:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 49 razy
ostrosłup prawidłowy trójkątny
Wyliczam krawędź podstawy, wykorzystując objętość ostrosłupa.
\(\displaystyle{ \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 72\sqrt{3} \quad\Rightarrow\quad a = 12}\).
Wysokość podstawy jest \(\displaystyle{ h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}}\)
Odcinek między środkiem krawędzi a punktem wysokościu opuszczonej na podstawę jest \(\displaystyle{ \frac{1}{3}h}\), obliczmy więc wysokość ściany bocznej z Tw. Pitagorasa.
\(\displaystyle{ l^2 = (\frac{1}{3}h)^2+H^2}\), gdzie \(\displaystyle{ H}\) to wysokość ostrosłupa.
Stąd \(\displaystyle{ l = 2\sqrt{2}}\).
Można zauważyć, że wysokość ściany bocznej, odcinek wysokości podstawy oraz wysość ostrosłupa to połowa kwadratu, gdzie przekątną jest wysokość ściany bocznej, albo z funkcji \(\displaystyle{ \tan\alpha = \frac{H}{(\frac{1}{3}h)} = \frac{2}{2} = 1 \quad\Rightarrow\quad = 45^\circ}\)
\(\displaystyle{ \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 72\sqrt{3} \quad\Rightarrow\quad a = 12}\).
Wysokość podstawy jest \(\displaystyle{ h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}}\)
Odcinek między środkiem krawędzi a punktem wysokościu opuszczonej na podstawę jest \(\displaystyle{ \frac{1}{3}h}\), obliczmy więc wysokość ściany bocznej z Tw. Pitagorasa.
\(\displaystyle{ l^2 = (\frac{1}{3}h)^2+H^2}\), gdzie \(\displaystyle{ H}\) to wysokość ostrosłupa.
Stąd \(\displaystyle{ l = 2\sqrt{2}}\).
Można zauważyć, że wysokość ściany bocznej, odcinek wysokości podstawy oraz wysość ostrosłupa to połowa kwadratu, gdzie przekątną jest wysokość ściany bocznej, albo z funkcji \(\displaystyle{ \tan\alpha = \frac{H}{(\frac{1}{3}h)} = \frac{2}{2} = 1 \quad\Rightarrow\quad = 45^\circ}\)