Wykaż,że jeśli wielościany są przystające ścianami to ...

[kamil13151]

Niech jedna ze ścian pewnego wielościanu wypukłego będzie wielokątem przystającym do jednej ze ścian innego wielościanu wypukłego. Wykaż, że jeśli te wielościany skleimy przystającymi ścianami (tak, by odpowiednie krawędzie przylegały do siebie), to dla otrzymanego wielościanu można stosować wzór Eulera \(\displaystyle{ (S+W=K+2)}\).

[norwimaj]

Czy dobrze rozumiem, że zakładamy tu prawdziwość wzoru Eulera dla obydwu sklejanych wielościanów? Bo jeśli nie, to po prostu trzeba udowodnić wzór Eulera.

Oznacz sobie \(\displaystyle{ S_1,W_1,K_1,S_2,W_2,K_2}\) - liczby ścian, wierzchołków, krawędzi wielościanów. Ponadto \(\displaystyle{ n}\) - liczba krawędzi sklejanej ściany. W zależności od tych liczb możesz wyznaczyć \(\displaystyle{ S,W}\) i \(\displaystyle{ K}\).
Na przykład \(\displaystyle{ S=S_1+S_2-2}\), bo ściany otrzymanego wielościanu, są to ściany wyjściowych wielościanów, z wyjątkiem dwóch sklejanych ścian.

[kamil13151]

Tak, zakładamy prawdziwość tego wzoru.

Natomiast mam problem z wyznaczeniem liczby krawędzi, przykładowo sklejamy dwa sześciany to będzie tyle samo krawędzi \(\displaystyle{ K=K_1=K_2}\) , a jak dwa graniastosłupy pięciokątne to będzie \(\displaystyle{ K=K_1+K_2-n}\) ?

[norwimaj]

Przypadek sześcianów uświadomił mi, że jest tu pewna subtelność, która dotyczy także liczby ścian. Można na problem patrzeć na dwa sposoby. Powiedzmy, że sklejamy ściany \(\displaystyle{ BCC'B'}\) sześcianów \(\displaystyle{ ABCDA'B'C'D'}\) i \(\displaystyle{ BEFCB'E'F'C'}\).

W pierwszym sposobie na \(\displaystyle{ AEE'A'}\) patrzymy jako na jedną ścianę, a w drugim jako na dwie ściany \(\displaystyle{ ABB'A'}\), \(\displaystyle{ BEE'B'}\), przedzielone krawędzią \(\displaystyle{ BB'}\). Ten pierwszy sposób trochę bardziej odpowiada potocznemu pojęciu ściany, ale myślę że wygodniej Ci będzie, jeśli najpierw zrobisz to zadanie według drugiej interpretacji.

[kamil13151]

Zapomnieliśmy o

... wielościanu wypukłego ...

Także \(\displaystyle{ W=W_1+W_2-n, \ K=K_1+K_2-n \ \text{i} \ S=S_1+S_2-2}\). ale chyba coś źle? Co dalej?

[norwimaj]

Sześciany są wypukłe. Wypukłość tu służy do czego innego. Do tego, żeby wielościany zetknęły się tylko sklejanymi ścianami. Gdyby nie nakładać żadnych ograniczeń na kształt, to wielościany mogłyby o siebie zawadzać jakimiś wystającymi fragmentami i sklejenie nie byłoby możliwe.

Teraz wzór, który chcemy pokazać, przyjmuje postać

\(\displaystyle{ (S_1+S_2-2)+(W_1+W_2-n)=(K_1+K_2-n)+2}\),

czyli

\(\displaystyle{ S_1+S_2+W_1+W_2=K_1+K_2+4}\).

Żeby ten wzór udowodnić, wystarczy dodać stronami równości

\(\displaystyle{ S_i+W_i=K_i+2}\)

dla \(\displaystyle{ i=1,2}\).

[kamil13151]

Co będzie z przypadkiem sześcianu? Sześcian jest wypukły? Mógłbyś wyjaśnić dlaczego?

[norwimaj]

W przypadku gdy pewne ściany są prostopadłe do sklejanej ściany i po sklejeniu łączą się w większe ściany, trzeba wprowadzić małe poprawki.

\(\displaystyle{ S=S_1+S_2-2-m}\),

gdzie \(\displaystyle{ m}\) jest liczbą takich par ścian, które się łączą,

\(\displaystyle{ K=K_1+K_2-n-m}\).