Objętość czworościanu a proporcja

[Globtroterk]

Na początku zaznaczę, że nie jestem pewna czy umieszczam to zadanie we właściwym dziale. Jest ono jednym z zadań wprowadzających do budowania modeli matematycznych, a przed wykonaniem go, należało powtórzyć funkcje. W każdym razie:

Według takiego wzoru

Kod: Zaznacz cały

http://wstaw.org/w/JYg/

(te prostokąty sa równe a cała długosć conajmniej 8x większa niż szerokość) muszę zbudować kilka czworościanów (miejsca oznaczone kropka stykają się). Potem należy ręcznie zmierzyć potrzebne wielkości i powiedzieć, jak zmienia się objętość tej figury w zależnośvi od proporcji paska.

Zbudowałam modele i rozwiązałam zadanie w taki sposób:


obliczam objętość I czworościanu
długość jednej z krawędzi podstawy: 6cm
wysokość podstawy: 24cm/4=6cm
wysokość czworościanu: ok.5cm
pole podstawy: (6*6)/2=18(cm^2)
objętość czworościanu: 18*1/3*5=30(cm^3)

obliczam objętość II czworościanu
długość jednej z krawędzi podstawy: 5cm
wysokość podstawy: 29,2cm/4=7,25 cm
wysokość czworościanu: 4,7cm
pole podstawy: (5*7,25)/2= 18,125(cm^2)
objętość czworościanu: 1/3*18,125*4,7=28,6(cm^3)

obliczam objętość III czworościanu
długość jednej z krawędzi podstawy: 4cm
wysokość podstawy: 20cm/4=5cm
wysokość czworościanu: 3,7cm
pole podstawy: (4*5)/2=10(cm^2)
objętość czworościanu: 10*1/3*3,7=12,(3)(cm^3)




......................czworościan I.........czworościan II......czworościan III
proporcje paska ....0,125..................0,086 ....................0,1
długość w cm..........24....................29,2..........................20
objętość w cm^3.....30....................28,6.........................12,6

Siedzę nad tym zadaniem od kilku dni i ciągle nie mogę znaleźć tu żadnej zależności. Będę wdzięczna za każdą pomoc

[kropka+]

Ręcznie nie zrobisz tego dokładnie i nie zauważysz zależności. Trzeba to wyprowadzić analitycznie.
Oznaczmy:

a- szerokość paska
4b- długość paska (czyli b to długość prostokąta)

Z treści zadania wynika, że

\(\displaystyle{ 4b \ge 8a \Rightarrow b \ge 2a \Rightarrow \frac{b}{a} \ge 2\\ \\}\)

Oznaczmy proporcje prostokąta

\(\displaystyle{ \ p= \frac{b}{a} \ge 2}\)

To proporcje paska oznaczmy

\(\displaystyle{ k= \frac{4b}{a}=4p \ge 8 \\ \\
\Rightarrow p= \frac{k}{4}}\)

W wyprowadzaniu wzoru na objętość ostrosłupa wygodniej posługiwać się proporcją p, i dopiero na końcu podstawić powyższy wzór.

Czyli mamy ostrosłup trójkątny którego wszystkie ściany są trójkątami równoramiennymi o podstawie 2a i wysokości b.

Zrób przekształcenia. Powinno wyjść tak:

\(\displaystyle{ P _{p}= a ^{2}p\\ \\
H=a \sqrt{1+ \frac{5}{9}p ^{2} }
\\ \\
\Rightarrow V= \frac{a ^{3}p \sqrt{9+5p ^{2} } }{9}}\)

To po podstawieniu pod p mamy

\(\displaystyle{ V= \frac{a ^{3}k \sqrt{144+5k ^{2} } }{144}}\)

Teraz liczymy objętość tego stożka dla k=8 i otrzymujemy (pomijam przekształcenia):

\(\displaystyle{ V _{k=8}= \frac{2a ^{3} \sqrt{29} }{9}}\)

Na koniec odpowiadamy na pytanie jak zmieni się objętość stożka gdy zmienimy proporcję odcinka na k>8 czyli liczymy stosunek dwóch objętości stożka

\(\displaystyle{ \frac{V}{V _{k=8} }= \frac{k}{32} \sqrt{ \frac{144+5k ^{2} }{29} }}\)

Jak Ty to chciałaś zauważyć bez wyliczeń?
Sprawdź, czy się nigdzie nie pomyliłam.

Ponadto robisz złe pomiary. Powinno być tak:
1 pomiar: a=3 4b=24 to k=8 - to zrobiłaś dobrze (objętość ok.32 cm sześć.)
2 pomiar: a=2 4b=24 to k=12
3 pomiar: a=1 4b=24 to k=24

Czyli zwężasz pasek papieru o centymetr przy kolejnych pomiarach a długość paska jest bez zmian.

[Globtroterk]

dziękuje

-- 30 paź 2011, o 16:37 --

A jednak ciągle mi nie wychodzi...

Obliczam H tego czworościanu tak że kroję ostrosłup przez jego wierzchołek i wysokość podstawy poprowadzoną do boku który jest jedyny (co do długości) z krawędzi podstawy. Powstały przekrój jest trójkatem równoramiennym o podstawie 2a i bokach b.

najpierw obliczyłam jego pole:
\(\displaystyle{ P= a \sqrt{b^2-a^2}}\)

a z tego wysokość:
\(\displaystyle{ H= \frac{a \sqrt{b^2-a^2} }{2b}}\)

W jaki sposób uzyskałaś taki wynik?
\(\displaystyle{ H=a \sqrt{1+ \frac{5}{9}p ^{2} }}\)

Tak wiem, przepraszam za głupie pytania -- 31 paź 2011, o 15:02 --pytanie ciągle aktualne

[Szmuk]

Mam ten sam problem. Widocznie jesteśmy zapisani na te same zajęcia. Nie mogę dojść tej wysokości. Jedyne, co Ci mogę powiedzieć to to, że źle liczysz tę wysokość. Twój przekrój to trójkąt równoramienny o postawie 2a i boku b. Nie może tak być, bo takie wymiary ma ściana powstałego czworościanu.

Bardzo proszę kogoś o wyprowadzenie tego wzoru na wysokość.

[kropka+]

-- 30 paź 2011, o 16:37 --
Obliczam H tego czworościanu tak że kroję ostrosłup przez jego wierzchołek i wysokość podstawy poprowadzoną do boku który jest jedyny (co do długości) z krawędzi podstawy. Powstały przekrój jest trójkatem równoramiennym o podstawie 2a i bokach b.

najpierw obliczyłam jego pole:
\(\displaystyle{ P= a \sqrt{b^2-a^2}}\)

a z tego wysokość:
\(\displaystyle{ H= \frac{a \sqrt{b^2-a^2} }{2b}}\)

Masz rację. Moja wysokość jest źle policzona.
Dobrze myślisz, tylko źle wyznaczyłaś H. Z Twojego trójkąta wynika, że drugi wzór na pole to:

\(\displaystyle{ P= \frac{bH}{2} \wedge P= a \sqrt{b^2-a^2} \Rightarrow H= \frac{2a \sqrt{b^2-a^2}}{b}}\)

Czyli musisz wyprowadzić prawidłowy wzór na objętość ostrosłupa.

Szmuk- ściana czworościanu jest trókątem równoramiennym o podstawie 2a i wysokości (a nie ramionach) b.

[Globtroterk]

Heh.. wykończy mnie w końcu to zadanie...

Skoro H wynosi tyle, to objętość wyniosła \(\displaystyle{ \frac{2a^2 \sqrt{b^2-a^2} }{3}}\)

Teraz obliczam \(\displaystyle{ V_{k=8}}\) Nie mam jak postawić p, więc zakładam, że skoro k=8 i \(\displaystyle{ k= \frac{4b}{a}}\) to \(\displaystyle{ a= \frac{4b}{8} = \frac{b}{2}}\)

\(\displaystyle{ V_{k=8} = \frac{2}{3} *( \frac{b}{2})^2 \sqrt{b^2-( \frac{b}{2})^2 }}\)

Wychodzi: \(\displaystyle{ \frac{b^3 \sqrt{3} }{12}}\)

Wobec tego \(\displaystyle{ \frac{V}{ V_{k=8} } = \frac{8a^2 \sqrt{b^2-a^2} }{b^3 \sqrt{3} }}\)


hmm... tylko jaki z tego można wyciagnąc wniosek

[Szmuk]

Macie rację i zwracam honor. Mózg mi się lasuje od tej proporcji. Zaczęło mnie zastanawiać czy odpowiedź rzeczywiście ma być tak dokładna, czy może chodzi raczej o jakiś ogólny wniosek.

[Globtroterk]

W sumie to to jest już prawie zrobione.. tylko trzeba dojść do jakiegoś wniosku Na rozwiązanie tego zadania został mi tylko jeden dzień... ma ktoś może jeszcze jakiś pomysł?

[kropka+]

Mam jakiś pomysł co zrobić.
Doszłyśmy do wzoru na objętość tego czworościanu

\(\displaystyle{ V= \frac{2a ^{2} \sqrt{b ^{2}-a ^{2} } }{3} \wedge b= \frac{ak}{4} \Rightarrow V= \frac{a ^{3} \sqrt{k ^{2}-16 } }{6}}\)

Analogicznie przekształcam wzór na wysokość:

\(\displaystyle{ H= \frac{2a \sqrt{b ^{2}-a ^{2} } }{b}= \frac{2a \sqrt{k ^{2}-16 } }{k}}\)

Teraz robisz pomiary (nie musisz ich oczywiście robić, bo wyliczysz wysokość i objętość ze wzorów).
Ustalasz tak jak chciałaś \(\displaystyle{ a=3}\). Będziesz manipulować długością paska \(\displaystyle{ 4b}\). Wyjściowa długość paska niech będzie \(\displaystyle{ 4b=33cm \Rightarrow k= \frac{4b}{a}= \frac{33}{3}=11}\). W kolejnych pomiarach skracasz długość paska o \(\displaystyle{ a=3cm}\) to wtedy proporcja k będzie malała o 1. Czyli piszesz:

Wyniki pomiarów:

\(\displaystyle{ a=3cm, \ 4b=33cm \Rightarrow k=11: \ H _{k=11} \approx 5,6cm; \ V _{k=11} \approx 46cm ^{3}\\
a=3cm, \ 4b=30cm \Rightarrow k=10: \ H _{k=10} \approx 5,5cm; \ V _{k=10} \approx 41cm ^{3}\\
a=3cm, \ 4b=27cm \Rightarrow k=9: \ H _{k=9} \approx 5,4cm; \ V _{k=9} \approx 36cm ^{3}\\
a=3cm, \ 4b=24cm \Rightarrow k=8: \ H _{k=8} \approx 5,2cm; \ V _{k=8} \approx 31cm ^{3}}\)

Wniosek: Dla paska o szerokości \(\displaystyle{ a=3cm}\) zmiana proporcji k o 1 powoduje zmianę objętości czworościanu o ok. \(\displaystyle{ 5cm ^{3}}\)

Może tak być?