Największa objętość prostopadłościanu.

Andrzejmm · Post autor: **Andrzejmm** » 22 sty 2007, o 18:21

Który z prostopadłościanów o podstawie kwadratowej i polu powierzchni bocznej równym \(\displaystyle{ 24 cm^{2}}\) ma największą objętość?

bartholdy · Post autor: **bartholdy** » 22 sty 2007, o 19:24

\(\displaystyle{ 24 = 4ah\\
h = \frac{6}{a}\\
V = a^2\cdot h\\
\\
a\in (0; +\infty)
\\\\
\lim_{a\to 0} 6a = 0 \qquad \lim_{a\to } 6a = +\infty
\\\\
V(a) = a^2\frac{6}{a} = 6a\\

V^\prime (a) = 6\\}\)

W takim wypadku największą objętość będzie miał czworościan który ma nieskończenie duże \(\displaystyle{ a}\).

Ale prawdopodobnie chodzi o pole powierzchni całkowitej i wtedy:
\(\displaystyle{ 24 = 2a^2+4ah\\
h = \frac{12-a^2}{2a}\\
V = a^2\cdot h\\
V(a) = a^2\frac{12-a^2}{2a} = \frac{(12-a^2)a}{2}\\
V^\prime (a) = \frac{12-3a^2}{2} = \frac{3(4-a^2)}{2}\\
\\
a = 2, b = 2}\)

Andrzejmm · Post autor: **Andrzejmm** » 22 sty 2007, o 20:33

Dziękuję.
Tak więc pole powierzchni bocznej obejmuje też podstawy.

bartholdy · Post autor: **bartholdy** » 22 sty 2007, o 20:34

Nie, nie obejmuje, niedopatrzenie.

Andrzejmm · Post autor: **Andrzejmm** » 22 sty 2007, o 20:36

Czyli błąd w treści zadania.

bartholdy · Post autor: **bartholdy** » 22 sty 2007, o 20:53

Raczej mój błąd może w zadaniu właśnie o to chodziło, nie doczytałem polecenia, teraz są 2 przypadki.