1) Wysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy większa od krawędzi podstawy. Pole całkowite ostrosłupa jest równe 100. Oblicz długość krawędzi podstawy i wysokości tego ostrosłupa
2) Przekątne ścian bocznych graniastosłupa prawidłowego trójkątnego wychodzące z jednego wierzchołka tworzą kąt alfa. Krawędź podstawy ma długość a. Oblicz sinus kąta, jaki tworzy przekątna ściany bocznej z krawędzią podstawy graniastosłupa
3) Krawędzie prostopadłościanu wychodzące z jednego wierzchołka tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 3. Oblicz objętość prostopadłościanu, jeśli wiesz, że pole całkowite jest równe 366
4) Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy mniejsze od pola jego powierzchni bocznej. Wyznacz ką nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do jego podstawy
Mile widziane rysunki ;]
Ostroslupy i graniastosłupy.
-
Lbubsazob
- Użytkownik
- Posty: 4672
- Rejestracja: 17 maja 2009, o 13:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 124 razy
- Pomógł: 978 razy
Ostroslupy i graniastosłupy.
Zad. 1
Niech \(\displaystyle{ a}\) oznacza krawędź podstawy. W takim razie \(\displaystyle{ 2a}\) to wysokość ściany bocznej. Zauważ, że pole całkowite tej bryły to
\(\displaystyle{ a^2+4 \cdot \frac{a \cdot 2a}{2} = 5a^2}\)
Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ 5a^2=100}\), a następnie zauważ, że szukana wysokość ostrosłupa tworzy trójkąt prostokątny z wysokością ściany bocznej, którą znasz i połową długości boku podstawy, którą też jesteś w stanie obliczyć. Skorzystaj więc z twierdzenia Pitagorasa.
Zad. 2
Trochę masakryczny wynik wyjdzie z tego co widzę. Niech \(\displaystyle{ x}\) oznacza przekątną ściany bocznej, wtedy z tw. cosinusów mamy:
\(\displaystyle{ a^2=x^2+x^2-2x^2\cos\alpha \\
a^2=2x^2(1-\cos\alpha) \\
x= \frac{a}{ \sqrt{2(1-\cos\alpha)} }}\)
Następnie oznaczam \(\displaystyle{ \beta}\) jako kąt między przekątną ściany bocznej a podstawą. Widać, że \(\displaystyle{ \cos\beta = \frac{a}{x}= \sqrt{2(1-\cos\alpha)}}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ \sin\beta=1-\cos^2\beta=1-\left( 2(1-\cos\alpha)\right)}\).
Zad. 3
Boki tej bryły to \(\displaystyle{ a, \ a+3, \ a+6}\). Pole całkowite to \(\displaystyle{ 2a(a+3)+2a(a+6)+2(a+3)(a+6)=366}\), wyznacz z tego \(\displaystyle{ a}\), a potem oblicz objętość podstawiając do wzoru.
Zad. 4
Jeżeli \(\displaystyle{ a}\) jest bokiem podstawy, to pole podstawy \(\displaystyle{ a^2}\) jest 2 razy mniejsze od pola bocznego \(\displaystyle{ 4 \cdot \frac{ah}{2}}\).
\(\displaystyle{ 2a^2=2ah}\) - wyznacz z tego \(\displaystyle{ h}\) w zależności od \(\displaystyle{ a}\), a następnie z funkcji trygonometrycznych znajdź szukany kąt (jest on między wysokością ściany bocznej a połową długości podstawy).
Niech \(\displaystyle{ a}\) oznacza krawędź podstawy. W takim razie \(\displaystyle{ 2a}\) to wysokość ściany bocznej. Zauważ, że pole całkowite tej bryły to
\(\displaystyle{ a^2+4 \cdot \frac{a \cdot 2a}{2} = 5a^2}\)
Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ 5a^2=100}\), a następnie zauważ, że szukana wysokość ostrosłupa tworzy trójkąt prostokątny z wysokością ściany bocznej, którą znasz i połową długości boku podstawy, którą też jesteś w stanie obliczyć. Skorzystaj więc z twierdzenia Pitagorasa.
Zad. 2
Trochę masakryczny wynik wyjdzie z tego co widzę. Niech \(\displaystyle{ x}\) oznacza przekątną ściany bocznej, wtedy z tw. cosinusów mamy:
\(\displaystyle{ a^2=x^2+x^2-2x^2\cos\alpha \\
a^2=2x^2(1-\cos\alpha) \\
x= \frac{a}{ \sqrt{2(1-\cos\alpha)} }}\)
Następnie oznaczam \(\displaystyle{ \beta}\) jako kąt między przekątną ściany bocznej a podstawą. Widać, że \(\displaystyle{ \cos\beta = \frac{a}{x}= \sqrt{2(1-\cos\alpha)}}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ \sin\beta=1-\cos^2\beta=1-\left( 2(1-\cos\alpha)\right)}\).
Zad. 3
Boki tej bryły to \(\displaystyle{ a, \ a+3, \ a+6}\). Pole całkowite to \(\displaystyle{ 2a(a+3)+2a(a+6)+2(a+3)(a+6)=366}\), wyznacz z tego \(\displaystyle{ a}\), a potem oblicz objętość podstawiając do wzoru.
Zad. 4
Jeżeli \(\displaystyle{ a}\) jest bokiem podstawy, to pole podstawy \(\displaystyle{ a^2}\) jest 2 razy mniejsze od pola bocznego \(\displaystyle{ 4 \cdot \frac{ah}{2}}\).
\(\displaystyle{ 2a^2=2ah}\) - wyznacz z tego \(\displaystyle{ h}\) w zależności od \(\displaystyle{ a}\), a następnie z funkcji trygonometrycznych znajdź szukany kąt (jest on między wysokością ściany bocznej a połową długości podstawy).