optymalizacja - kula i stozek

[GunloK]

No trafilem chyba na najtrudniejsze z zadan optymalizacyjnych jakie robilem. Nie wiem czy dorbze trafilem z dzialem, a wiec:

Na kuli o promieniu R=4cm opisujemy stozki o promieniu r i wysokosci H. Spsrod wszystkich takich stozkow wyznacz ten, ktory ma najmniejsza objetosc. Oblicz te objetosc. Oblicz promien i wysokosc znalezionego stozka.

Prosilbym o wytlumaczenie jak mam ulozyc funkcje, bo nie mam na to kompletnego pomyslu. Nie robilem jeszcze w ogole zadan z kula, takze jest to dla mnie abstrakcja.

Z gory dzieki.

[bartholdy]

\(\displaystyle{ \frac{|CB|}{|AB|} = \frac{|CE|}{|EF|}}\)

[florek177]

Przekrojem pionowym jest trójkąt równoramiennym z pisanym okręgiem. l - tworząca stożka ( ramię trójkąta ), reszta jak w zadaniu. Ze środka okręgu prowqdzimy promień prostopadle do ramienia. Z podobieństwa trójkątów mamy:

\(\displaystyle{ \frac{l}{r} = \frac{H - R}{R} \,\,}\); oraz \(\displaystyle{ \,\, l^{2} = r^{2} + H^{2}}\) .

Z układu wyznacz np. r , wstaw do wzoru na objętość , orzymasz V(H) --> policz pochodną, przyurównaj ją do zera i otrzymasz, że H = 4R. Rrszta jest prosta.

Poprawiłem, Shift nie zadziałał i oczy.

[GunloK]

moglbys wyznaczyc ten wzor funkcji i obliczyc pochodna ?
mam male problemy przy obliczaniu tego i nie wiem czy robie dobrze.

[bartholdy]

Florek się pomylił, ma być \(\displaystyle{ \frac{l}{r} = \frac{H-R}{R}}\).

\(\displaystyle{ l = \frac{(H-R)r}{R}\\
\frac{(H-R)^2\cdot r^2}{R^2} = H^2 + r^2\\
r^2 = \frac{H\cdot R^2}{H-2R}\\
\\
V(H) = \frac{1}{3}\pi \frac{H^2 R^2}{H-2R}\\\\
H\in (2R; +\infty)\\\\
\lim_{x\to 2R} V(H) = \qquad \lim_{x\to +\infty} V(H) = +\infty
\\
\\
V^\prime (H) = \frac{1}{3}\pi\frac{2HR^2(H-2R) - H^2R^2}{(H-2R^2)} = \frac{1}{3}\pi\frac{HR^2(H-4R)}{(H-2R)^2}}\)
z tego wynika, że najmniejszą objętość będzie miał walec o wysokośći \(\displaystyle{ H = 4R}\), podstawiając dane \(\displaystyle{ H = 16cm}\).
Dalej sobie poradzisz.

[GunloK]

Florek się pomylił.

zauwazylem

\(\displaystyle{ V^\prime (H) = \frac{1}{3}\pi\frac{2HR^2(H-2R) - H^2R^2}{(H-2R^2)} = \frac{1}{3}\pi\frac{HR^2(H-2R)}{(H-2R)^2}}\)
z tego wynika, że najmniejszą objętość będzie miał walec o wysokośći \(\displaystyle{ H = 4R}\), podstawiając dane \(\displaystyle{ H = 16cm}\).
Dalej sobie poradzisz.

Jestes pewien do linijki \(\displaystyle{ \frac{1}{3}\pi\frac{HR^2(H-2R)}{(H-2R)^2}}\) ?
Co zrobiles z 2 w \(\displaystyle{ 2HR^2(H-2R) - H^2R^2}\) (linijka wczesniej)

nie powinno byc na koncu \(\displaystyle{ \frac{1}{3}\pi\frac{HR^2(H-4R)}{(H-2R)^2}}\) ?

Wtedy by sie zgadzalo to 16 ktore policzyles.

[bartholdy]

Tak oczywiście, jak wskazuje poprzednie równanie, w kolejnym ma być \(\displaystyle{ 4R}\) - literówka przy przepisywaniu, wybacz ;P Teraz ok.

[Matka Chrzestna]

hej

rozumiem do tego momentu, że \(\displaystyle{ V' (H)= \frac {16H(H-16)}{(H-8)^2} \frac{\pi}{3}}\)
i \(\displaystyle{ D_{V'} = D_V}\)

wogóle po co liczyłam tą pochodną i co dalej??

bo dalej nie rozumiem, nie wiem jaki jestnastępny krok i dlaczego.

Czy ktoś mógłby mi wytłumaczyć?
Dzięki za pomoc

[Staszeq]

Jednego nie rozumiem;
jak na podstawie tego:

można wydedukować, że H=4R?
Mam pewne hipotezy, ale nie jestem do końca pewien...

z góry dzięki za wyjaśnienie.

[rObO87]

Jednego nie rozumiem;
jak na podstawie tego:
Obrazek
można wydedukować, że H=4R?
Mam pewne hipotezy, ale nie jestem do końca pewien...

z góry dzięki za wyjaśnienie.

Pryrównujes to wyrazenie do 0 i zauważasz, że jeżeli licznik=0 to ułamek =0 ( w mianowniku nie może być 0)
H jest tu zmienną, więc jeżeli za H podstawisz 4R to w nawiasie (licznik) będzie 0 i cały ułamek =0.

[Promilla]

nieaktualne. już zrozumiałam to o co się pytałam .