Ostroslupy prawidlowe

[dominikee]

Mam problem z 3 zadaniami

1) W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątek \(\displaystyle{ \alpha}\). Odległość środka podstawy od krawędzi bocznej wynosi d. Oblicz objętość tego ostrosłupa
2) W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość a, zaś kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy wynosi \(\displaystyle{ \alpha}\). Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa
3) Podstawą ostrosłupa jest kwadrat o boku długości x. Jedna z jego krawędzi bocznych jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Przekątna podstawy, która łaczy równe krawędzie boczne, widać z wierzchołka ostrosłupa pod kątek \(\displaystyle{ 2 \alpha}\). Oblicz objętość ostroslupa.

Jak dałoby radę, przydałyby sie rysunki ;]

[anna_]

1.

AU

6b4786bf53017aa5.png (23.05 KiB) Przejrzano 128 razy

[/url]

Podpowiedź: trójkąty \(\displaystyle{ AOE}\) i \(\displaystyle{ EOS}\) są podobne.

[dominikee]

Wiec tak policzyłem z podobnych wysokość
\(\displaystyle{ h= \frac{d}{cos \alpha }}\)

Obliczam podstawę, wiemy ze jest to trojkat rownoboczny
\(\displaystyle{ a= \frac{4d \sqrt{3} }{9}}\)

A pole już wiadomo jak ;]

Dzięki za pomoc.

A pozostałe zadania ?

[anna_]

Mogę wiedzieć jak policzyłeś \(\displaystyle{ a}\)

2.

AU

8c87bcc356b05935.png (20.53 KiB) Przejrzano 128 razy

[/url]

\(\displaystyle{ |OE|= \frac{1}{2}a}\)
\(\displaystyle{ h}\) policzysz z \(\displaystyle{ cos\alpha}\) (trójkąt \(\displaystyle{ OES}\))
\(\displaystyle{ H}\) z \(\displaystyle{ tg\alpha}\) lub Pitagorasa dla trójkąta \(\displaystyle{ OES}\)

Masz może odpowiedź do 3?

[dominikee]

Odnośnie 1...

Liczę a z sin
\(\displaystyle{ sin \alpha = \frac{d}{ \frac{2}{3} h}}\)

Odnośnie 3 jeszcze nie mam

[anna_]

Jak z tego wyszło: \(\displaystyle{ a= \frac{4d \sqrt{3} }{9}}\)?

3 pytałam jaka jest odpowiedź w książce.

[dominikee]

Mój bład ;]

Wychodzi \(\displaystyle{ a= \frac{d \sqrt{3} }{sin \alpha }}\)


To zadania z karty pracy ;/

[anna_]

No to policz jeszcze raz, bo:

\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{d}{ \frac{2}{3} h}}\)

\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{d}{ \frac{2}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3} }{2} }}\)
I nie pomyl \(\displaystyle{ H}\) z \(\displaystyle{ h}\)

3.

AU

bf3cc4519ae002f0.png (18.75 KiB) Przejrzano 128 razy

[/url]

Licz kolejno:
\(\displaystyle{ DB}\) - przekątna kwadratu
\(\displaystyle{ k}\) z twierdzenia cosinusów dla trójkąta \(\displaystyle{ DBS}\)
\(\displaystyle{ H}\) z Pitagorasa dla trójkąta \(\displaystyle{ ABS}\)
Objetość

[dominikee]

Zaczełem liczyć 3

z tw cos
\(\displaystyle{ 2 x^{2} = 2k ^{2} - 2 k^{2}cos2 \alpha}\)
nasze k wychodzi

\(\displaystyle{ k= \sqrt{ \frac{2x ^{2} }{2-2cos2 \alpha } }}\)

pozniej liczmy z pitagorasa H i gitara ;]

Wielkie dzięki

[anna_]

Uprość to jeszcze:
\(\displaystyle{ k= \sqrt{ \frac{2x ^{2} }{2-2\cos2 \alpha } }}\)

\(\displaystyle{ k= \sqrt{ \frac{2x ^{2} }{2(1-\cos2 \alpha )} }}\)

\(\displaystyle{ k= \sqrt{ \frac{x ^{2} }{1-\cos2 \alpha } }}\)

\(\displaystyle{ k= \frac{x}{ \sqrt{1-\cos2 \alpha} }}\)

\(\displaystyle{ k= \frac{x}{ \sqrt{1-(1-2\sin^2\alpha)} }}\)

\(\displaystyle{ k= \frac{x}{ \sqrt{2\sin^2\alpha} }}\)

\(\displaystyle{ k= \frac{x \sqrt{2} }{2\sin\alpha} }}\)