Objęctość prostopadłościanu- układ równan

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
a7450180
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 15 paź 2011, o 12:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warsaw
Podziękował: 3 razy

Objęctość prostopadłościanu- układ równan

Post autor: a7450180 »

Witam
Mam problem z rozwiązaniem równania do zadania: Pola 3 ścoan prostopadłościanu są równe 120cm2;140cm2 i 168cm2 Oblicz objętość tego prostopadłościanu.
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} ab=120\\ac=168\\bc=140 \end{array}}\)

Zadanie było już rozwiązne w serwisie ale nie moge zrozumieć jak.
Proszę o wytłumaczenie
lukasz1804
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

Objęctość prostopadłościanu- układ równan

Post autor: lukasz1804 »

Do obliczenia jest iloczyn \(\displaystyle{ abc}\).
Wystarczy pomnożyć wszystkie trzy równania stronami, by otrzymać \(\displaystyle{ ab\cdot ac\cdot bc=120\cdot 168\cdot 140}\). Po lewej stronie pojawi się (po wymnożeniu) kwadrat szukanej liczby.
chris_f
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2727
Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 945 razy

Objęctość prostopadłościanu- układ równan

Post autor: chris_f »

Można rozwiązać ten układ (dosyć męczące, ale nietrudne), łatwiej jest jednak zauważyć, że szukana objętość \(\displaystyle{ V=abc}\), dlatego gdy podniesiemy obustronnie do kwadratu to otrzymamy \(\displaystyle{ V^2=(abc)^2=a^2b^2c^2}\).
Patrząc na lewe strony w naszym układzie widać, że jak je pomnożymy przez siebie to dostaniemy \(\displaystyle{ a\cdot b\cdot a\cdot c\cdot b\cdot c=a^2b^2c^2=V^2}\).
Stąd mamy, że \(\displaystyle{ V^2=120\cdot168\cdot140}\) czyli
\(\displaystyle{ V=\sqrt{120\cdot168\cdot140}=\sqrt{4\cdot3\cdot10\cdot4\cdot7\cdot6\cdot7\cdot2\cdot10}=\sqrt{4^2\cdot10^2\cdot7^2\cdot6^2}=1680}\)
a7450180
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 15 paź 2011, o 12:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warsaw
Podziękował: 3 razy

Objęctość prostopadłościanu- układ równan

Post autor: a7450180 »

Kurcze, dzięki wielkie dla Was
Pozdrawiam
Pancernik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 634
Rejestracja: 3 mar 2009, o 14:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 143 razy

Objęctość prostopadłościanu- układ równan

Post autor: Pancernik »

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} ab=120\\ac=168\\bc=140 \end{array}\Rightarrow
\left\{\begin{array}{l} a= \frac{120}{b} \\ac=168\\bc=140 \end{array}\Rightarrow
\left\{\begin{array}{l} a= \frac{120}{b} \\ \frac{120}{b}c=168\\bc=140 \end{array} \Rightarrow
\left\{\begin{array}{l} a= \frac{120}{b} \\c=168\cdot \frac{b}{120}\\bc=140 \end{array} \Rightarrow
\left\{\begin{array}{l} a= \frac{120}{b} \\c=\frac{7}{5}b\\bc=140 \end{array} \Rightarrow
\left\{\begin{array}{l} a= \frac{120}{b} \\c=\frac{7}{5}b\\b \cdot \frac{7}{5}b=140 \end{array} \Rightarrow}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} a= \frac{120}{b} \\c=\frac{7}{5}b\\b^2=140 \cdot \frac{5}{7}\end{array} \Rightarrow
\left\{\begin{array}{l} a= \frac{120}{b} \\c=\frac{7}{5}b\\b^2=100\end{array} \Rightarrow
\left\{\begin{array}{l} a= \frac{120}{b} \\c=\frac{7}{5}b\\b=10\end{array} \Rightarrow
\left\{\begin{array}{l} a= \frac{120}{b} \\c=\frac{7}{5} \cdot 10\\b=10\end{array} \Rightarrow
\left\{\begin{array}{l} a= \frac{120}{b} \\c=14\\b=10\end{array} \Rightarrow
\left\{\begin{array}{l} a= \frac{120}{10} \\c=14\\b=10\end{array} \Rightarrow
\left\{\begin{array}{l} a= 12 \\c=14\\b=10\end{array}}\)

\(\displaystyle{ V=abc=12 \cdot 10 \cdot 14=1680}\)
a7450180
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 15 paź 2011, o 12:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warsaw
Podziękował: 3 razy

Objęctość prostopadłościanu- układ równan

Post autor: a7450180 »

Pancernik,
Piękne dzięki
Pozdrawiam
ODPOWIEDZ