2 zadania z brył wpisanych w bryłe

[Piotrek88]

Witam. Mam problem z rozwiazaniem dwoch zadan. Bylbym wdzieczny jakby ktos pomogl mi je rozwiazac.

1. Tworząca stożka jest nachylona do podstawy pod kątem \(\displaystyle{ \alpha}\). Kula opisana na tym stożku ma promien R. Oblicz pole powierzchni calkowitej tego stozka.

2. W kule wpisano dwa stozki o wspolnej podstawie, przy czym jeden z nich ma pole powierzchni bocznej trzy razy wieksze niz drugi. Oblicz stosunek dlugosci wysokosci tych stozkow.

Z gory dziekuje za pomoc.

Pozdrawiam.

[Lady Tilly]

1)
\(\displaystyle{ Ppc={\pi}r^{2}+{\pi}rl}\)
z twierdzenia sinusów masz:
\(\displaystyle{ \frac{2r}{sin(180-2\alpha)}=2R}\)
korzystając przy okazji ze wzorów redukcyjnych masz:
\(\displaystyle{ sin(\pi-2\alpha)=sin2\alpha}\)
\(\displaystyle{ r=Rsin2\alpha}\)
\(\displaystyle{ \frac{l}{sin\alpha}=2R}\)
\(\displaystyle{ l=2Rsin\alpha}\)
\(\displaystyle{ Ppc={\pi}R^{2}{\cdot}sin^{2}2\alpha+{\pi}2R^{2}sin\2\alpha{\cdot}sin\alpha}\)

[Vixy]

w tym zadaniu 2 ten stosunek wyszedł mi 3 , ale nie wiem czy mam dobry sposob na rozwiazanie tego zadania


trzeba najpierw wiedziec ze przekrojem kuli jest koło a stozka trójkat rownoramienny , bok trojkata oznaczam jako a czyli jeden bok trojkata bedzie wynosic a natomiast ten drugi 3a , licze z tw.pitagorasa wysokosci a nastepnie licze stosunek i wychodzi 3 czy taka jest odpowiedz ?

[Piotrek88]

Odpowiedz to: \(\displaystyle{ \frac{1}{9}}\)

[1991]

Ja bym 2 zrobiła tak(ale nie wiem czy dobrze):

Pb1=pi rl
Pb2=3pi rl
3pirl1=pirl2
3l1=l2

H1^2 l1 - r^2
_____=_______

H2^2 l2^2 - r^2


H1^2 l1^2 - r^2
_____= __________

H2^2 (3l1)^2 - r^2

sorry za taki zapis, mam nadzieje ze widac o co mi chodzi

[ Dodano: 21 Styczeń 2007, 15:10 ]
na poczatku ułamek H1 do potegi 2 / H2 do potęgi 2 = L1 do potęgi 2 - r do potęgi 2 / L2 do potęgi 2 - r do potęgi 2

H1 do potęgi 2 /H2 do potęgi 2 = L1 do potęgi 2 / (3L1) do potegi 2 - r do potegi 2

[florek177]

Zauważ, że przekrój daje dwa trójkąty prostokątne złączone przeciwprostokątnymi - ( h1 + h2 ) stożków, tworzące ( a i b ) są przyprostokątnymi. Wysokością tego trójkąta na przeciwprostokątną jest promień r - wspólny dla obu stożków.
Z warunków zadania mamy: \(\displaystyle{ \frac{a}{b} = \frac{1}{3} \,\,}\) -> ze wzoru na Pb.
Ze związków miarowych w trójkącie prostokątnym mamy:
\(\displaystyle{ a^{2} = h_{2} ( h_{1} + h_{2}) \,\,}\) oraz
\(\displaystyle{ b^{2} = h_{1} ( h_{1} + h_{2}) \,\,}\). ( iloczyn rzutu przyprostokątnej na przeciwprostokątną i przeciwprostokątnej )

Dzielimy stronami i mamy: \(\displaystyle{ \frac{h_{2}}{h_{1}} = (\frac{a}{b})^{2} = \frac{1}{9}}\)

[hubert632]

florek177 dlaczego uważasz, że mamy dwa trójkąty prostokątne?

[florek177]

dwa trójkąty prostokątne złączone przeciwprostokątnymi - ( h1 + h2 )

h1 + h2 --> = przeciwprostokątna = średnica okręgu