w jakim stosunku płaszczyzny dzielą objętość ostrosłupa?

[fnt]

hej,
mam problem z zadaniem, jego treść brzmi:

W ostrosłupie poprowadzono dwie płaszczyzny równoległe do podstawy ostrosłupa, które podzieliły wysokość na trzy równe części. W jakim stosunku te płaszczyzny podzieliły objętość ostrosłupa?


bardzo proszę o pomoc. w zadaniu nie jest powiedziane co jest podstawą ostrosłupa. czy to dlatego że to nie jest potrzebne do jego rozwiązania?

[Mistrz]

Owszem, nie jest to potrzebne.

Zauważ, że po podziale mamy trzy ostrosłupy o wspólnym wierzchołku. Ich wysokości są do siebie w stosunku \(\displaystyle{ 1:2:3}\). Ponadto, one wszystkie są do siebie podobne (właśnie w tej skali). Oznacza to, że ich objętości są w stosunku \(\displaystyle{ 1^3:2^3:3^3 = 1:8:27}\). Stąd mamy, że objętości tych trzech kawałków, o które chodzi w zadaniu, mają się do siebie jak \(\displaystyle{ 1:8-1:27-8 = 1:7:19}\).

[fnt]

skąd wiadomo, że ich objętości są w stosunku \(\displaystyle{ 1^3:2^3:3^3 = 1:8:27}\)?
zrobiłem to zadanie jakoś(niżej napiszę jak) i faktycznie ten stosunek się zgadza, tylko że ja musiałem go jakoś policzyć, a ty znasz go z góry. jest na to jakieś twierdzenie czy prawo? jeśli tak, to jak ono brzmi?


ja zrobiłem to na przykładzie ostrosłupa który w podstawie ma kwadrat.
długość boku podstawy mniejszego ostrosłupa oznaczyłem jako x, a najmniejszego ostrosłupa jako y.
i tak z podobieństwa trójkątów:
\(\displaystyle{ \frac{a}{h}=\frac{x}{ \frac{2}{3}h} \Rightarrow x= \frac{2}{3}a}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{h} = \frac{y}{ \frac{1}{3} h} \Rightarrow y= \frac{1}{3} a}\)
potem policzyłem objętości trzech ostrosłupów:
\(\displaystyle{ V1= \frac{1}{3} a^{2} H}\)
\(\displaystyle{ V2= \frac{1}{3} \frac{4}{9} a^{2} \frac{2}{3} H}\)
\(\displaystyle{ V3= \frac{1}{3} \frac{1}{9} a^{2} \frac{1}{3} H}\)
ich stosunek:
\(\displaystyle{ V1:V2:V3=27:8:1}\)
na koniec stosunek objętości trzech figur jak ty.

[anna_]

Stosunek objętości brył podobnych jest równy sześcianowi skali podobieństwa.