Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego

Risotto · Post autor: **Risotto** » 27 wrz 2011, o 13:08

Nie wiem jak obliczyć wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego do treści zadania:

'Przekątna graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest o 10 cm dłuższa od przekątnej podstawy i o 4 cm dłuższa od jego krawędzi bocznej. Oblicz wysokość graniastosłupa.'

Tutaj rysunek pomocniczy przygotowany przeze mnie:

tatteredspire · Post autor: **tatteredspire** » 27 wrz 2011, o 13:17

\(\displaystyle{ h^2+k^2=d^2}\)

Risotto · Post autor: **Risotto** » 27 wrz 2011, o 13:46

Czyli
\(\displaystyle{ h^2+k^2=(k+10)^2*(h+4)^2}\) ?

sushi · Post autor: **sushi** » 27 wrz 2011, o 13:58

to teraz pomysl co zapisales po prawej stronie

Risotto · Post autor: **Risotto** » 27 wrz 2011, o 14:01

Zapisałem tak bo nadal nie wiem jak to obliczyć z trzech niewiadomych...
A może tak?
\(\displaystyle{ (k+10)^2 + (h+4)^2 = d^2}\) ?

tatteredspire · Post autor: **tatteredspire** » 27 wrz 2011, o 14:56

Napisałeś dwa równania (obok rysunku), ja podałem Ci trzecie. Rozwiąż układ tych trzech równań z trzema niewiadomymi.

Risotto · Post autor: **Risotto** » 27 wrz 2011, o 15:08

Wychodzą mi bzdury z rozwiązania... Jak to prawidłowo obliczyć?

tatteredspire · Post autor: **tatteredspire** » 27 wrz 2011, o 15:28

Rozwiązując układ równań:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} d=k+10\\d=h+4\\h^2+k^2=d^2 \end{array}}\) (oczywiście długości wszystkich tych odcinków muszą być dodatnie)

Pokaż obliczenia to sprawdzę.

Risotto · Post autor: **Risotto** » 27 wrz 2011, o 17:41

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} d=k+10\\d=h+4\\h^2+k^2=d^2 \end{array}}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 10=k+d\\4=h+d\\h^2+k^2=d^2 \end{array}}\)

\(\displaystyle{ \left\ - {\begin{array}{l} 10=k+d\\4=h+d \end{array}}\)

\(\displaystyle{ 6=kh}\)

tatteredspire · Post autor: **tatteredspire** » 27 wrz 2011, o 18:01

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} d=k+10\\d=h+4\\h^2+k^2=d^2 \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} k-h+6=0\\d=h+4\\h^2+k^2=d^2 \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} h-6=k\\d=h+4\\h^2+k^2=d^2 \end{array}}\)

Podstaw do trzeciego równania \(\displaystyle{ h-6}\) za \(\displaystyle{ k}\) oraz \(\displaystyle{ h+4}\) za \(\displaystyle{ d}\) i wyznacz \(\displaystyle{ h}\) (wiedząc, że jest dodatnie).

Risotto · Post autor: **Risotto** » 27 wrz 2011, o 18:18

Rozumiem że po podstawieniu korzysta się ze wzorów skróconego mnożenia? Trzecie równanie takie mi wyszło:
\(\displaystyle{ h^2 + (h-6)^2 = (h+4)^2}\)

\(\displaystyle{ h^2 + (h^2 + 12h - 36) = (h^2 + 8h + 16)}\)
a może
\(\displaystyle{ h^2 + h^2 + 36 = h^2 + 16}\)
?

tatteredspire · Post autor: **tatteredspire** » 27 wrz 2011, o 18:22

Po prostu rozwiąż to równanie kwadratowe - masz gotowe wzory na pierwiastki.

Risotto · Post autor: **Risotto** » 27 wrz 2011, o 18:42

Pierwiastki: -1, 1, 6 i -4.

tatteredspire · Post autor: **tatteredspire** » 27 wrz 2011, o 18:48

To nie są pierwiastki tego równania. Lepiej poczytaj o równaniu kwadratowym.

Risotto · Post autor: **Risotto** » 27 wrz 2011, o 18:58

OK, dzięki za podpowiedzi.