Wyznacz objętośc grainastosłupa w zależności od "s"

[anton86993]

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym pole powierzchni bocznej wynosi "s" a kąt pomiędzy wysokościami przeciwległych boków wynosi \(\displaystyle{ 2\alpha}\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Jeśli mam podane to "s" to myślę, że mam wyliczyć właśnie w zależności od tego "s" tą objętość.

Przyjmuje takie oznaczenia: a - krawędź podstawy, H - wysokość ostrosłupa, d - wysokość ściany bocznej

Ja próbowałem zrobić to tak:

1. Wyliczyłem pole boczne: \(\displaystyle{ s=2 \cdot a \cdot d}\)
2. Z funkcji trygonometrycznej \(\displaystyle{ \left( \ctg \alpha \right)}\) wyliczyłem H: \(\displaystyle{ H=\frac{a \cdot \ctg \alpha}{2}}\)
3. Z Pitagorasa wyliczyłem d: \(\displaystyle{ d=\frac{a \cdot \sqrt{{\ctg}^2 \alpha+1 }}{2}}\)
4. Podstawiłem d do wzoru \(\displaystyle{ s=2 \cdot a \cdot d}\), aby uzależnić a od s i wyszło: \(\displaystyle{ a=\frac{\sqrt{s \cdot {\ctg}^2 \alpha +1}}{{\ctg}^2 \alpha +1}}\)
5. Podstawiłem do wzoru \(\displaystyle{ H=\frac{a \cdot \ctg \alpha}{2}}\) za \(\displaystyle{ a=\frac{\sqrt{s \cdot {\ctg}^2 \alpha +1}}{{\ctg}^2 \alpha +1}}\)
6. Podstawiłem to wszystko do wzoru na objętość: \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3} \cdot {a}^2 \cdot H}\)

I wychodzi taka objętość w zależności od pola powierzchni "s": \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3} \cdot { \left( \frac{\sqrt{s \cdot {\ctg}^2 \alpha +1}}{{\ctg}^2 \alpha +1} \right) }^2 \cdot \frac{\frac{\sqrt{s \cdot {\ctg}^2 \alpha +1}}{{\ctg}^2 \alpha +1} \cdot \ctg \alpha }{2}}\)

To tyle :/ Szczerze mówiąc pierwszy raz robię takiego typu zadanie, więc proszę o wyrozumienie. Zazwyczaj jak robiłem to miałem podanego przynajmniej sinusa albo jakieś inne dane a tutaj nic tylko oznaczenia. Nie wiem czy jest to w ogóle dobrze rozpoczęte. Dziękuję za pomoc!

[piasek101]

Ciężko to sprawdzić - nie wpatruję się.

Podpowiedź (ładniej pójdzie) :
\(\displaystyle{ 2a}\) - krawędź podstawy

\(\displaystyle{ h}\) - wysokość ściany

\(\displaystyle{ H}\) - wysokość bryły

Wtedy :
\(\displaystyle{ \frac{a}{h}=\sin\alpha}\)

\(\displaystyle{ \frac{a}{H}=\tg\alpha}\)

\(\displaystyle{ s=4ah}\)

Szukane \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}\cdot 4a^2 H}\)

[aalmond]

Trochę to sobie skomplikowałeś. W punkcie czwartym masz błąd.

[anton86993]

Spróbowałem obliczyć to jeszcze raz:

Sory, że na innym forum ale jakoś tak wyszło :/