krawędź boczna ostrosłupa

[juti]

krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod katem takim że \(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{1}{3}}\). Oblicz cosinus kata nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.

[aalmond]

Rozpatrz dwa trójkąty prostokątne. Pierwszy o bokach: krawędź boczna ostrosłupa, połowa przekątnej podstawy, wysokość ostrosłupa. Drugi o bokach: wysokość ściany bocznej, połowa długości podstawy, wysokość ostrosłupa. Skorzystaj z zależności:
\(\displaystyle{ d = a \sqrt{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ d}\)-przekątna podstawy, \(\displaystyle{ a}\) - krawędź podstawy

[juti]

i do tego 1 trójkata wykorzystac tego sin?

[aalmond]

Bardziej użyteczny będzie tangens.

\(\displaystyle{ \cos \alpha = \sqrt{1- \frac{1}{9} } = \frac{2 \sqrt{2} }{3} \\ \\
\tg \alpha = \frac{ \frac{1}{3} }{ \frac{2 \sqrt{2}}{3} } = \frac{ \sqrt{2} }{4}}\)

Skorzystaj z następujących zależności:

\(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{H}{ \frac{ \sqrt{2}a }{2} } \\ \\
\cos \beta = \frac{ \frac{1}{2} a}{h} \\ \\
h ^{2} = H ^{2} + \frac{1}{4}a ^{2}}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ a}\) - krawędź podstawy
\(\displaystyle{ h}\) - wysokość ściany bocznej
\(\displaystyle{ H}\) - wysokość ostrosłupa
\(\displaystyle{ \cos \beta}\)- szukany cosinus